等比数列の公式ってなんだっけ、、、？
計算方法は？
という方のための記事です。
この記事を読むことで、「等比数列とは」「等比数列の一般項」「等比数列の和の公式」「等比数列の計算方法」が理解できます。
数列に関しての記事は以下の記事を参考にしてください。
等比数列とは
等比数列とは
初めの数にある一定の数をかけ続けていった数列
のことです。
例えば、
1,3,9,27,81,243,⋯
これは、初めの数が１に３をかけ続けていった数列です。
初めの数を「初項」、かけた数を「公比」と言います。
この数列は「初項１、公比３の等比数列」ということができます。
等比数列の一般項（公式）
等比数列の一般項は以下の通りです。
初項a、公比rの等比数列の一般項anは
an=arn−1
等比数列の一般項の意味
等比数列は
a1=a
a2=a×r⏟1個
a3=a×r×r⏟2個
a4=a×r×r×r⏟3個
初項のaに(n-1)個の公比rをかければよいので
an=a×r×r×r×⋯×r⏟n−1個=arn−1
となります。
等比数列の一般項を求める問題
公比が2、第４項が２４である等比数列の一般項anを求めよ。
an=a×2n−1
と表せる。a4=24より
a4=a×23=24
a=3
したがって
an=3⋅2n−1
等比数列の和（公式）
等比数列の初項からn項までの和は公式があります。
確認しましょう。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和をsnとすると
Sn=a(rn−1)r−1=a(1−rn)1−r
等比数列の和（公式）導出
等比数列の和の公式は導出過程も重要なのでみていきましょう。
a+ar1+ar2+ar3+⋯+arn−1
これは初項a、公比r、項数nの等差数列の和
Sn=a+ar1+ar2+ar3+⋯+arn−1
として
Sn=a+ar+ar2+ar3+⋯+arn−1–rSn=ar+ar2+ar3+⋯+arn−1+arnSn(1−r)=a−arn
(1−r)Sn=a(1−rn)
よって
Sn=a(1−rn)1−r
等比数列の和 公式を使う際のポイント
等比数列は、初項、公比、項数の3つの要素を整理することが大切です。
簡単な表を作成することでミスを減らすことができます。
arn(初項)(公比)(項数)
このような表を作って、3つの要素を整理します。
等比数列の和を求める問題
(1) 初項５、公比３、項数nの等比数列の和Snを求めよ。
(2) 第３項が12、第６項が−96である公比が実数である等比数列の初項から５項までの和を求めよ。
(1) arn63n
等比数列の和の公式から
Sn=6(3n−1)3−1
Sn=6(3n−1)2
Sn=3(3n−1)
Sn=3n+1−3
(2)
a3=12,a6=−96より
a3=a×r2=12
a6=a×r5=−96
a6a3=a×r5a×r2=−9612
r3=−8
r=−2
よって
a=3
arn3−25
S5=3{1−(−2)5}1−(−2)
S5=3{1−(−32)}3
S5=33
まとめ：等比数列
等比数列についてのまとめは以下の通りです。
等比数列の一般項
an=arn−1
等比数列の和の公式
Sn=a(rn−1)r−1=a(1−rn)1−r
以上等比数列解説でした。
数列については以下の記事を参考にしていください。
数列の基本抑えて、数列マスター目指しましょう！
少しでも参考になれば幸いです。
それではまた！
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