等比数列の公式ってなんだっけ、、、？
計算方法は？
という方のための記事です。
この記事を読むことで、「等比数列とは」「等比数列の一般項」「等比数列の和の公式」「等比数列の計算方法」が理解できます。
数列に関しての記事は以下の記事を参考にしてください。
等比数列とは
等比数列とは
初めの数にある一定の数をかけ続けていった数列
のことです。
例えば、
$$1,3,9,27,81,243,\cdots$$
これは、初めの数が１に３をかけ続けていった数列です。
初めの数を「初項」、かけた数を「公比」と言います。
この数列は「初項１、公比３の等比数列」ということができます。
等比数列の一般項（公式）
等比数列の一般項は以下の通りです。
初項a、公比rの等比数列の一般項\(a_n\)は
$$a_n=ar^{n-1}$$
等比数列の一般項の意味
等比数列は
$$a_1=a$$
$$a_2=a\times \underbrace{r}_{1個}$$
$$a_3=a\times \underbrace{r\times r}_{2個}$$
$$a_4=a\times \underbrace{r\times r\times r}_{3個}$$
初項のaに(n-1)個の公比rをかければよいので
$$a_n=a\times \underbrace{r\times r\times r\times \cdots \times r}_{n-1個}=ar^{n-1}$$
となります。
等比数列の一般項を求める問題
公比が2、第４項が２４である等比数列の一般項\(a_n\)を求めよ。
$$a_n=a\times 2^{n-1}$$
と表せる。\(a_4=24\)より
$$a_4=a\times 2^3=24$$
$$a=3$$
したがって
$$a_n=3\cdot2^{n-1}$$
等比数列の和（公式）
等比数列の初項からn項までの和は公式があります。
確認しましょう。
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和を\(s_n\)とすると
$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
等比数列の和（公式）導出
等比数列の和の公式は導出過程も重要なのでみていきましょう。
$$a+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}$$
これは初項a、公比r、項数nの等差数列の和
$$S_n=a+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}$$
として
\begin{array}{c|cc} & S_n &=&a+&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}& \\ – & rS_n &=&&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}&+ar^{n}\\ \hline&S_n(1-r)&=&a&&-ar^{n} \end{array}
$$(1-r)S_n=a(1-r^{n})$$
よって
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
等比数列の和 公式を使う際のポイント
等比数列は、初項、公比、項数の3つの要素を整理することが大切です。
簡単な表を作成することでミスを減らすことができます。
\begin{array}{c|c|c} a & r & n \\ \hline (初項) & (公比) &(項数) \end{array}
このような表を作って、3つの要素を整理します。
等比数列の和を求める問題
(1) 初項５、公比３、項数nの等比数列の和\(S_n\)を求めよ。
(2) 第３項が12、第６項が−96である公比が実数である等比数列の初項から５項までの和を求めよ。
(1) \begin{array}{c|c|c} a & r & n \\ \hline 6 & 3 &n \end{array}
等比数列の和の公式から
$$S_n=\frac{6(3^n-1)}{3-1}$$
$$S_n=\frac{6(3^n-1)}{2}$$
$$S_n=3(3^n-1)$$
$$S_n=3^{n+1}-3$$
(2)
\(a_3=12,a_6=-96\)より
$$a_3=a\times r^2=12$$
$$a_6=a\times r^5=-96$$
$$\frac{a_6}{a_3}=\frac{a\times r^5}{a\times r^2}=\frac{-96}{12}$$
$$ r^3=-8$$
$$r=-2$$
よって
$$a=3$$
\begin{array}{c|c|c} a & r & n \\ \hline 3 & -2 &5 \end{array}
$$S_5=\frac{3\{1-(-2)^5\}}{1-(-2)}$$
$$S_5=\frac{3\{1-(-32)\}}{3}$$
$$S_5=33$$
まとめ：等比数列
等比数列についてのまとめは以下の通りです。
等比数列の一般項
$$a_n=ar^{n-1}$$
等比数列の和の公式
$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
以上等比数列解説でした。
数列については以下の記事を参考にしていください。
数列の基本抑えて、数列マスター目指しましょう！
少しでも参考になれば幸いです。
それではまた！
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