【積分】積分計算（2022・東京大・理科・第１問）

今回は、「積分計算（２０２２・東京大・理科・第１問）」の解説をします。

この記事を読むと

・「$\int_a^xf(t)dt$ をxで微分すると $f(x)$」　の使い所

・$\int \dfrac{1}{cost}dt$ の積分方法　

について理解できます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題：積分計算（2022・東京大・理科・第１問）
解説：積分計算（2022・東京大・理科・第１問）
まとめ：積分計算（2022・東京大・理科・第１問）

問題：積分計算（2022・東京大・理科・第１問）

問題

次の関数 $f(x)$ を考える

$$f(x)=(cosx)\log(cosx)-cosx+\int_0^x(cost)\log(cost)dt$$

（１）$f(x)$ は区間 $0≤x<\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ

（２）$f(x)$ は区間 $0≤x<\dfrac{\pi}{2}$ における最小値を求めよ

（2022・東京大・理科・第１問）

解説：積分計算（2022・東京大・理科・第１問）

（１）解説：最小値を持つことを示す

（１）解説

$$f(x)=(cosx)\log(cosx)-cosx+\int_0^x(cost)\log(cost)dt$$

微分し$\require{cancel}$

$$f'(x)=(-sinx)\log(cosx)+\cancel{(cosx)}\frac{-sinx}{\cancel{cosx}}+sinx+(cosx)\log(cosx)$$

$$f'(x)=(-sinx)\log(cosx)+(cosx)\log(cosx)$$

$log(cosx)$ をくくり出して

$$f'(x)=(-sinx+cosx)\log(cosx)$$

合成して

$$f'(x)=-\sqrt2sin(x-\frac{\pi}{4})\log(cosx)$$

$f'(x)=0$ とすると　$x=0,\dfrac{\pi}{4}$

符号を考えると

$$f'(x)=\underbrace{-\sqrt2}_{\color{blue}{マイナス}}\underbrace{sin(x-\frac{\pi}{4})}_{x=\frac{\pi}{4}を境に\color{blue}{マイナス}→\color{red}{プラス}}\underbrace{\log(cosx)}_{\color{blue}{マイナス}}$$

増減表は以下の通り

\begin{array}{c|ccccc} x &0& \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f’(x) && – & 0 & + & 0 \\ \hline f(x) &-1& \searrow & 最小 & \nearrow &\end{array}

したがって $x=\dfrac{\pi}{4}$ で最小値をとる

（証明終）

$\int_a^xf(t)dt$ をxで微分すると $f(x)$

（２）解説：最小値を求める

（２）解説

（１）より　$f(\dfrac{\pi}{4})$ が最小値なので、これを求める

$$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt}_{①}$$

①の計算をする

部分積分して

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt$$

$$=\left[sint\log(cost)\right]_0^\frac{\pi}{4}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}sint\frac{-sint}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2t}{cost}dt$$

$sin^2t$を変形

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-cos^2t}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}-costdt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-[sint]_0^{\frac{\pi}{4}}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

よって

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt}_{②}$$

②の計算をする

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

分母分子 $cost$ 倍して

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{cos^2t}dt$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sin^2t}dt$$

分母を「和と差の積の因数分解」する

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{(1-sinx)(1+sint)}dt$$

部分分数分解して

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sint}+\frac{cost}{1+sint}dt$$

$$=\frac{1}{2}[-\log|1-sint|+\log|1+sint|]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\left[\log|\frac{1+sint}{1-sint}|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt2}}{1-\frac{1}{\sqrt2}}$$

分母分子 $\sqrt2$ 倍して

$$=\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$$

分母の有理化をして

$$=\frac{1}{2}\log(\sqrt2+1)^2$$

$$=\log(\sqrt2+1)$$

つまり①は

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\log(\sqrt2+1)$$

したがって

$$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\log(\sqrt2+1)}_{①}$$

$$f(\frac{\pi}{4})=\sqrt2\log\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2+\log(\sqrt2+1)$$

よって最小値は

$$\sqrt2\log\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2+\log(\sqrt2+1)$$

$\int\dfrac{1}{sinx}dx$ や $\int\dfrac{1}{cosx}dx$ は重要項目