【積分】積分計算(2022・東京大・理科・第1問)

積分

今回は、「積分計算(2022・東京大・理科・第1問)」の解説をします。

この記事を読むと

・「\(\int_a^xf(t)dt\) をxで微分すると \(f(x)\)」 の使い所

・\(\int \dfrac{1}{cost}dt\) の積分方法 

について理解できます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題:積分計算(2022・東京大・理科・第1問)

問題

次の関数 \(f(x)\) を考える

$$f(x)=(cosx)\log(cosx)-cosx+\int_0^x(cost)\log(cost)dt$$

(1)\(f(x)\) は区間 \(0≤x<\dfrac{\pi}{2}\) において最小値を持つことを示せ

(2)\(f(x)\) は区間 \(0≤x<\dfrac{\pi}{2}\) における最小値を求めよ

(2022・東京大・理科・第1問)

解説:積分計算(2022・東京大・理科・第1問)

(1)解説:最小値を持つことを示す

(1)解説

$$f(x)=(cosx)\log(cosx)-cosx+\int_0^x(cost)\log(cost)dt$$

微分し\(\require{cancel}\)

$$f'(x)=(-sinx)\log(cosx)+\cancel{(cosx)}\frac{-sinx}{\cancel{cosx}}+sinx+(cosx)\log(cosx)$$

$$f'(x)=(-sinx)\log(cosx)+(cosx)\log(cosx)$$

\(log(cosx)\) をくくり出して

$$f'(x)=(-sinx+cosx)\log(cosx)$$

合成して

$$f'(x)=-\sqrt2sin(x-\frac{\pi}{4})\log(cosx)$$

\(f'(x)=0\) とすると \(x=0,\dfrac{\pi}{4}\)

符号を考えると

$$f'(x)=\underbrace{-\sqrt2}_{\color{blue}{マイナス}}\underbrace{sin(x-\frac{\pi}{4})}_{x=\frac{\pi}{4}を境に\color{blue}{マイナス}→\color{red}{プラス}}\underbrace{\log(cosx)}_{\color{blue}{マイナス}}$$

増減表は以下の通り

\begin{array}{c|ccccc} x &0& \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f’(x) && – & 0 & + & 0 \\ \hline f(x) &-1& \searrow & 最小 & \nearrow &\end{array}

したがって \(x=\dfrac{\pi}{4}\) で最小値をとる

(証明終)

\(\int_a^xf(t)dt\) をxで微分すると \(f(x)\)

(2)解説:最小値を求める

(2)解説

(1)より \(f(\dfrac{\pi}{4})\) が最小値なので、これを求める

$$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt}_{①}$$

①の計算をする

部分積分して

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt$$

$$=\left[sint\log(cost)\right]_0^\frac{\pi}{4}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}sint\frac{-sint}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2t}{cost}dt$$

\(sin^2t\)を変形

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-cos^2t}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}-costdt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-[sint]_0^{\frac{\pi}{4}}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

よって

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt}_{②}$$

②の計算をする

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

分母分子 \(cost\) 倍して

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{cos^2t}dt$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sin^2t}dt$$

分母を「和と差の積の因数分解」する

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{(1-sinx)(1+sint)}dt$$

部分分数分解して

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sint}+\frac{cost}{1+sint}dt$$

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sint}+\frac{cost}{1+sint}dt$$

$$=\frac{1}{2}[-\log|1-sint|+\log|1+sint|]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\left[\log|\frac{1+sint}{1-sint}|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt2}}{1-\frac{1}{\sqrt2}}$$

分母分子 \(\sqrt2\) 倍して

$$=\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$$

分母の有理化をして

$$=\frac{1}{2}\log(\sqrt2+1)^2$$

$$=\log(\sqrt2+1)$$

つまり①は

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\log(\sqrt2+1)$$

したがって

$$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\underbrace{\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+\log(\sqrt2+1)}_{①}$$

$$f(\frac{\pi}{4})=\sqrt2\log\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2+\log(\sqrt2+1)$$

よって最小値は

$$\sqrt2\log\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2+\log(\sqrt2+1)$$

\(\int\dfrac{1}{sinx}dx\) や \(\int\dfrac{1}{cosx}dx\) は重要項目

まとめ:積分計算(2022・東京大・理科・第1問)

積分計算(2022・東京大・理科・第1問)の解説まとめは以下の通りです。

・\(\int_a^xf(t)dt\) をxで微分すると \(f(x)\)

・増減表を書いて、最小値を確認

・\(\int\dfrac{1}{sinx}dx\) や \(\int\dfrac{1}{cosx}dx\) は重要項目

以上「積分計算(2022・東京大・理科・第1問)」の解説でした。

少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。

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