【積分】積分計算（2022・東京大・理科・第１問）

①の計算をする

部分積分して

$$①・・・\int_0^{\frac{\pi}{4}}cost\log(cost)dt$$

$$=\left[sint\log(cost)\right]_0^\frac{\pi}{4}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}sint\frac{-sint}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2t}{cost}dt$$

$sin^2t$を変形

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-cos^2t}{cost}dt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}-costdt$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\log\frac{\sqrt2}{2}-[sint]_0^{\frac{\pi}{4}}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

よって

②の計算をする

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cost}dt$$

分母分子 $cost$ 倍して

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{cos^2t}dt$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sin^2t}dt$$

分母を「和と差の積の因数分解」する

$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{(1-sinx)(1+sint)}dt$$

部分分数分解して

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sint}+\frac{cost}{1+sint}dt$$

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{1-sint}+\frac{cost}{1+sint}dt$$

$$=\frac{1}{2}[-\log|1-sint|+\log|1+sint|]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\left[\log|\frac{1+sint}{1-sint}|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt2}}{1-\frac{1}{\sqrt2}}$$

分母分子 $\sqrt2$ 倍して

$$=\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$$

分母の有理化をして

$$=\frac{1}{2}\log(\sqrt2+1)^2$$

$$=\log(\sqrt2+1)$$