【対数評価】5.4＜log_4 2022＜5.5 を示せ（２０２２・京都大）

$$2022=2\times3\times337$$

$$\log_{4}2022=\log_{4}2+\log_{4}3+\log_{4}337$$

$$2022<2024$$

$$2022<2^{11}$$

両辺 log とって

$$\log_{4}2022<\log_{4}2^{11}$$

$$\log_{4}2022<11\log_{4}2$$

底を変換して

$$\log_{4}2022<11\frac{\log_{2}2}{\log_{2}4}$$

$$\log_{4}2022<11\frac{1}{2}$$

$$\log_{4}2022<5.5$$

$$2000<2022$$

両辺 log をとって

$$\log_{4}2000<\log_{4}2022$$

$$\log_{4}10^3\cdot2<\log_{4}2022$$

$$3\log_{4}10+\log_{4}2<\log_{4}2022$$

底の変換をして

$$3\frac{\log_{10}10}{\log_{10}4}+\frac{\log_{2}2}{\log_{2}4}<\log_{4}2022$$

$$\frac{3}{2}\color{blue}{\frac{1}{\log_{10}2}}+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$

$$\frac{3}{2}\times\color{blue}{3.32}+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$

$$4.98+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$

$$5.48<\log_{4}2022$$

したがって

$$5.4<\log_{4}2022$$

ゆるい評価

$$6<7<8$$

log をとって

$$\log_{10}6<\log_{10}7<\log_{10}8$$

$$\color{blue}{\log_{10}2}+\color{red}{\log_{10}3}<\log_{10}7<3\color{blue}{\log_{10}2}$$

$$\color{blue}{0.3}+\color{red}{0.48}<\log_{10}7<3\times\color{blue}{0.3}$$

$$0.78<\log_{10}7<1.44$$

うまく示すことができない

より厳しい評価

$$48<49<50$$

log をとって

$$\log_{10}48<\log_{10}49<\log_{10}50$$

$$\log_{10}(2^4\times3)<2\log_{10}7<\log_{10}(10^2\div2)$$

$$4\color{blue}{\log_{10}2}+\color{red}{\log_{10}3}<2\log_{10}7<2-\color{blue}{\log_{10}2}$$

$$4\times\color{blue}{0.3}+\color{red}{0.48}<2\log_{10}7<2-\color{blue}{0.3}$$

$$1.68<2\log_{10}7<1.7$$

$$0.84<\log_{10}7<0.85$$

（証明終）