今回は「対数評価（２０２２・京都大）」を解説します。
２０２２年に京大数学の問１で出題されました。
この記事を読むと
- 対数評価（２０２２・京都大）の解法
- 対数評価の考え方
- 対数評価の典型問題
について理解することができます。
この記事は「わか」が執筆しています。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題：対数評価（２０２２・京都大）
$$5.4<\log_{4}2022<5.5$$
であることを示せ。ただし、\(0.301<\log_{10}2<0.3011\)であることは用いてよい。
（２０２２・京都大）
２０２２・京都大学・問１で以上の「対数の不等式による評価」の問題が出題されました。
解説：対数評価（２０２２・京都大）
解説していきます。
とりあえず因数分解して、計算してみる
まず 2022 を因数分解して、計算する
$$2022=2\times3\times337$$
$$\log_{4}2022=\log_{4}2+\log_{4}3+\log_{4}337$$
この log の計算は大変そう
「２０２２」を「２０００」と「２０２４」で評価
「2022」を「log の計算が計算しやすい数」で不等式を使って評価する
「２」や「１０」と相性のよい「2000」「2024」でうまくいくか試す
$$2000<2022<2024$$
を使う
右側 \(2022<2024\) の計算
右側の評価は、ギリギリの数かつ「\(2024=2^{11}\)」から計算もうまくいきそう
$$2022<2024$$
$$2022<2^{11}$$
両辺 log とって
$$\log_{4}2022<\log_{4}2^{11}$$
$$\log_{4}2022<11\log_{4}2$$
底を変換して
$$\log_{4}2022<11\frac{\log_{2}2}{\log_{2}4}$$
$$\log_{4}2022<11\frac{1}{2}$$
$$\log_{4}2022<5.5$$
右側はちょうど評価することができた
左側 \(2000<2022\) の計算
左側の評価は、少しゆるいきもするがとりあえず計算はできそうなので試してみる
$$2000<2022$$
両辺 log をとって
$$\log_{4}2000<\log_{4}2022$$
$$\log_{4}10^3\cdot2<\log_{4}2022$$
$$3\log_{4}10+\log_{4}2<\log_{4}2022$$
底の変換をして
$$3\frac{\log_{10}10}{\log_{10}4}+\frac{\log_{2}2}{\log_{2}4}<\log_{4}2022$$
$$\frac{3}{2}\color{blue}{\frac{1}{\log_{10}2}}+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$
\(\dfrac{1}{\log_{10}2}\) を計算する
$$\frac{1}{\log_{10}2}$$
$$=1\div\log_{10}2$$
（ \(\log_{10}2<0.3011\)より ）
$$>1\div\underbrace{0.3011}_{大きい数で割る}$$
$$=3.32\cdots$$
$$>3.32$$
つまり
$$\color{blue}{3.32}<\color{blue}{\frac{1}{\log_{10}2}}$$
$$\frac{3}{2}\times\color{blue}{3.32}+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$
$$4.98+\frac{1}{2}<\log_{4}2022$$
$$5.48<\log_{4}2022$$
したがって
$$5.4<\log_{4}2022$$
左側の評価もできた
「２０２２」を絡めた対数の評価の問題でした。
\(2000<2022<2024\) の評価を使えるかがポイント
対数評価の基本問題
今回の問題は、以下の典型問題を理解していると対応することができます。
$$0.84<\log_{10}7<0.85$$
を示せ。ただし、\(\log_{10}2=0.3,\log_{10}3=0.48\) を使ってもよい。
ゆるい評価
$$6<7<8$$
log をとって
$$\log_{10}6<\log_{10}7<\log_{10}8$$
$$\color{blue}{\log_{10}2}+\color{red}{\log_{10}3}<\log_{10}7<3\color{blue}{\log_{10}2}$$
$$\color{blue}{0.3}+\color{red}{0.48}<\log_{10}7<3\times\color{blue}{0.3}$$
$$0.78<\log_{10}7<1.44$$
うまく示すことができない
もう少し、厳しい評価をしなくてはなりません。
より厳しい評価
$$48<49<50$$
log をとって
$$\log_{10}48<\log_{10}49<\log_{10}50$$
$$\log_{10}(2^4\times3)<2\log_{10}7<\log_{10}(10^2\div2)$$
$$4\color{blue}{\log_{10}2}+\color{red}{\log_{10}3}<2\log_{10}7<2-\color{blue}{\log_{10}2}$$
$$4\times\color{blue}{0.3}+\color{red}{0.48}<2\log_{10}7<2-\color{blue}{0.3}$$
$$1.68<2\log_{10}7<1.7$$
$$0.84<\log_{10}7<0.85$$
（証明終）
うまく評価することができました。
基本の積み重ねが大切
まとめ：対数評価（２０２２・京都大）
「不等式評価（２０２２・京都大）」の解説まとめは以下の通りです。
- 「２０２２・京都大 問１」は対数の不等式による評価の問題
- ２０００＜２０２２＜２０２４ を使うとうまく評価できる
「不等式評価（２０２２・京都大）」の解説は以上で終わります。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
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