【０で割る】１÷０は？０÷０は？〜ゼロ除算〜【答え】

こんな人のための記事です。

私わか（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

そんな私が、今回は「０で割ること」について解説します。

そもそも割り算とは何か

割り算とは

です。文字式で表すと

となります。

例えば、

$$15\div3=5\leftrightarrow5\times3=15$$

$$36\div9=4\leftrightarrow 4\times9=36$$

１÷０は？

それでは、１÷０を考えてみましょう。

よく何になるか分からないのでxとおきます。

$$1\div0=x$$

これを掛け算に直します。

$$x\times0=1$$

「０」をかけるとどんな数も「０」になるので、

xにどんな数を代入してもこの等式を成り立たせることはできません。

したがって

$$1\div0=x$$

を満たすxは存在しません。

$$1\div0$$

の答えは「存在しない」ということになります。

※「存在しない」ことと「０」を混同しないように注意しましょう。

「１を０で割ることはできない」ということです。

１以外の数を０で割る時はどうなるのか

\(1\div0\)を考えましたが、

「１」以外の数字でも同じことが言えます。

\(2\div0\)も存在しないし、

\(100\div0\)も存在しません。

しかし、

\(0\div0\)のときだけ特別です。

０÷０は？

\(0\div0\)のときを考えてみましょう。

先ほどと同様にxとおいてみましょう。

$$0\div0=x$$

これを掛け算に直します。

$$x\times0=0$$

「０」に何をかけても「０」であるので

xに何が当てはまるか考えると、

xは「１」でも「２」でも「１００」でも「１０００」でもどんな数でも等式は成立します。

つまり

$$0\div0$$

の答えは「全ての数」となり、「不定（値が定まらない）」となります。

「０」で割ってはいけない理由

「０」で割ってはいけない理由は

となります。

そのため数学をやっていく上で

という大原則があるわけです。

文字で割るときは「０」でないことを確認する

特に文字で割り算をするときはその文字が「０」でないことに注意しなくてはなりません。

例えば

としなくてはなりません。

「０」で割ってよいとすると「１＝２」が証明できてしまう

「０」で割ってもよいとすると、次のような証明ができてしまいます。

これは、「a=b」としてるので「両辺a-bで割る」ということは「両辺０で割る」ということになってしまう。

「０」で割った瞬間に意味のない議論になってしまっているわけです。

１÷０ は ∞ なのか？

前半で解説した通り\(1\div0\)は「解がない」となります。

しかし、よく

$$1\div0$$

は「∞」と聞いたりしませんか。

それは、1を「限りなく小さな数」で割った時は「∞」となるというと捉え方です。

正確に式で表すと

$$\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}=\infty$$

となります。

まとめ：１÷０は？　０÷０は？

「０で割った」ときの答えは以下の通りです。

以上、「０」で割ったときの割り算の解説でした。

少しでも参考になれば幸いです。それではまた。