伝説の入試問題シリーズです。
今回は、京都大学で出題された。「最も問題文の短い入試問題」として有名な問題です。
問題文が短いなら解きやすそう、、、
と思うかもしれませんが、そんなことはありません。数学の問題は、問題文が短いほど難しいと言われたりします。
その他の伝説の入試問題を知りたい方は以下の記事を参考にしてください。
東大で出題された円周率に関する問題です。
東大で出題された加法定理に関する問題です。
それでは、いきましょう。
問題
tan1°は有理数か（２００６・京都大）
この簡潔で、シンプルな問題が出題されたということで、有名となりました。
簡潔さとは裏腹に、多くの受験生が解けなかったと言われています。
結論
まずは、結論からです。
tan1°は有理数ではない。（無理数である）
何となく無理数っぽいなあとわかった人は鋭いですね。
しかし「これで、２択問題を制して満点！」というわけではありません。
流石にこれだけでは、大学が求める解答とは言えず、不十分です、、、。
有理数ではない（無理数である）証明を記述する必要があるでしょう。
証明
背理法を使って、証明します。
tan1°を有理数と仮定します。
\(tan1°=p\)
ここで２倍角の公式より（※補足１）
\(\displaystyle{tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}}\)より
$$tan2°=\frac{2tan1°}{1-tan^{2}1°}$$
tan1° は有理数なので、
$$\frac{2tan1°}{1-tan^{2}1° }$$
も有理数となり、tan2°は有理数。
同様に、tan4°、tan8°、tan16°、tan32°、tan64°も有理数となる。
また、加法定理より（※補足１）
$$tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-\tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$$
$$tan60°=tan(64°-4°)=\frac{tan64°-\tan4°}{1+tan64° tan4°}$$
tan4°、tan64°も有理数なので、
tan60°は有理数となる。
ここで、\(tan60°=\sqrt3\)なので、 （※補足２）
\(\sqrt3\)が無理数であることに矛盾する。
したがって、tan1°は無理数となる。（証明終）
無理数は、有理数ではない数です。そのため、無理数であることの証明は、有理数であると仮定して、その矛盾を導く背理法が使われることが多いです。
無理数であることの証明は、背理法を使う
補足１（２倍角の公式、加法定理の確認）
２倍角の公式と加法定理を確認します。
$$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$$
$$cos2\theta=cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2sin^2\theta=2cos^2\theta-1$$
$$tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$
$$sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta\pm cos\alpha sin\beta$$
$$cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta\mp sin\alpha sin\beta$$
$$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$$
加法定理は、三角関数における定理で最重要と言えます。
２倍角の公式は、加法定理からすぐに求めることができます。
加法定理の証明は、以下の記事を参考にしてください。
補足２（\(\sqrt3\)が無理数であることの証明）
今回の証明では、\(\sqrt3\)が無理数であることを事実として使っていますが、場合によっては証明は必要でしょう。
ルート３が無理数であることの証明は、有名です。確認していきましょう。
$$\sqrt3=\frac{q}{p}$$
とおく。p、qは互いに素な整数
両辺２乗して
$$3=\frac{q^2}{p^2}$$
$$3p^2=q^2$$
\(q^2\)は３の倍数なので、qは３の倍数
q=3kとおける
$$3p^2=9k^2$$
$$p^2=3k^2$$
\(p^2\)は３の倍数なので、pは３の倍数
p、qは共に３の倍数であるが、これは、p、qが互いに素であることに矛盾する。
したがって、\(\sqrt3\)が無理数である。（証明終）
ここでも、背理法を使用しています。やはり無理数の証明は、背理法を使います。
無理数であることの証明は、背理法を使う
「互いに素」であることに矛盾するとして証明しています。
「互いに素」についての解説は以下の記事を参考にしてください。
まとめ
以上で、伝説の入試問題「tanθは有理数か」に関しての解説は終わりです。
まとめは以下の通り。
- tanθは無理数である
- 無理数の証明は背理法を使う
- 三角関数の加法定理や２倍角の公式を使い、有名角に帰着させる
伝説の入試問題いかがだったでしょうか。入試問題は、各大学が威信をかけて作問しています。そのため、よく考えられた良問が多くあります。
そんな中でも、「伝説」となっている問題があります。今回はその一つを紹介しました。
また次の機会に「伝説の入試問題シリーズ」をお送りしたいと思います。
この記事が、少しでも勉強の参考になっていれば幸いです。
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