【円周率は無理数】π が無理数であることを示せ。（２００３・大阪大・後期）

を示す。\(\require{cancel}\)

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1\underbrace{t^{n+1}(1-t)^{n+1}}_{A_{n+1}}sin\pi t dt$$

\(A_{n+1}=t^{n+1}(1-t)^{n+1}\) とおく

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1A_{n+1}sin\pi t dt$$

部分積分のために先に \(A_{n+1}\) を微分計算する

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1A_{n+1}sin\pi t dt$$

部分積分して

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\underbrace{\left[A_{n+1}\frac{-1}{\pi}cos\pi t\right]_0^1}_{0}-\int_0^1A_{n+1}’\frac{-1}{\pi}cos\pi t dt\}$$

\(A_{n+1}\) は「０」と「１」を代入すると「０」なので

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\int_0^1A_{n+1}’\frac{1}{\pi}cos\pi t dt\}$$

もう１度部分積分して

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\underbrace{\left[A_{n+1}’\frac{1}{\pi^2}sin\pi t\right]_0^1}_{0}-\int_0^1A”_{n+1}\frac{1}{\pi^2}sin\pi t dt\}$$

\(A_{n+1}’\) は「０」と「１」を代入すると「０」なので

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{-\int_0^1A”_{n+1}\frac{1}{\pi^2}sin\pi t dt\}$$

$$I_{n+1}=\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1\color{blue}{A”_{n+1}}sin\pi t dt$$

ここで、\(A”_{n+1}\) を代入して

$$I_{n+1}=\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1\{\color{blue}{-(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}+n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}}\}sin\pi t dt$$

展開して

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1-(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt\\ &+\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt \end{eqnarray}

係数を前に出す

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{\pi^{n}}{\cancel{(n+1)!}_{n!}}(4n+2)\cancel{(n+1)}\int_0^1t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt\\ &+\frac{-\pi^{n}}{\cancel{(n+1)!}_{(n-1)!}}\cancel{n(n+1)}\int_0^1t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt \end{eqnarray}

約分などして形を整える

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{4n+2}{\pi}\underbrace{\frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt}_{I_n}\\ &-\underbrace{\frac{\pi^{n}}{(n-1)!}\int_0^1t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt}_{I_{n-1}} \end{eqnarray}

\(I_{n}\) と \(I_{n-1}\) に変換して

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}$$

（証明終）

背理法を使う

πを有理数と仮定する。

\(\pi=\frac{p}{q}\) と表せる（p,qは互いに素な正の整数）

（１）より

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}$$

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\frac{p}{q}}I_n-I_{n-1}$$

$$pI_{n+1}=q(4n+2)I_n-pI_{n-1}$$

両辺 \(p^n\) 倍して

$$p^{n+1}I_{n+1}=q(4n+2)p^nI_n-p^2p^{n-1}I_{n-1}$$

ここで \(X_n=p^nI_n\) とおくと

以上より

\(X_n\) は「正の整数」であり、「\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}X_n=0\)」である

これは矛盾である。

したがって

\(\pi\) は「無理数」である