今回は「πが無理数であることの証明」について解説します。
「πは無理数」ということは高校の授業で習いますが、「πが無理数であることの証明」は授業で取り扱わないことが多いです。「πは無理数だよ」「覚えておこう」みたいな感じですね。
この証明結構大変なんです。
「入試問題(2003・大阪大・後期)」でテーマとなったので、問題をときながら証明していきます。
この記事を読むと
・πが無理数であることの証明方法
・漸化式を求める式変形
・背理法を利用した証明方法
などについて理解することができます。
この記事は「わか」が執筆しています。
私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)
πを円周率とする。次の積分について考える。
I0=π∫10tn(1−t)nsinπtdt
In=πn+1n!∫10tn(1−t)nsinπtdt (n=0,1,2,⋯)
(1)I0,I1 の値を求めよ。また、漸化式
In+1=4n+2πIn−In−1
が成立することを示せ。
(2)πが無理数であることを示せ。
ただし、正の数aに対してlimn→∞ann!=0が成立するとしてよい。
(2002・大阪大・後期・一部改)
解説:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)
(1)解説①:I0,I1を求める
条件の式を確認
I0=π∫10tn(1−t)nsinπtdt
In=πn+1n!∫10tn(1−t)nsinπtdt (n=0,1,2,⋯)
まずは I0 を求める
I0=π∫10sinπtdt
I0=π[−1πcosπt]10=2
次に I1 を求める
I1=π2∫10t(1−t)sinπtdt
瞬間部分積分を使う
sinπt↓∫①+t(1−t)−1πcosπt′↓↓∫②−−2t+1−1π2sinπt′↓↓∫③+−21π3cosπt
I1=π2[t(1−t)−1πcosπt⏟①+(−2t+1)1π2sinπt⏟②+−2π3cosπt⏟③]10
①と②の部分は0,1を代入すると「0」になるので
I1=π2⋅4π3=4π
(1)解説②:漸化式証明
ここが大変なところです。
In+1=4n+2πIn−In−1
を示す。
In+1=πn+2(n+1)!∫10tn+1(1−t)n+1⏟An+1sinπtdt
An+1=tn+1(1−t)n+1 とおく
In+1=πn+2(n+1)!∫10An+1sinπtdt
部分積分のために先に An+1 を微分計算する
1回微分
A′n+1=(n+1)tn(1−t)n+1−tn+1(1−t)n
2回微分
A”n+1=n(n+1)tn−1(1−t)n+1−(n+1)2tn(1−t)n−(n+1)2tn(1−t)n+n(n+1)tn+1(1−t)n−1
それぞれまとめて
=n(n+1)tn−1(1−t)n−1((1−t)2+t2)⏟t(1−t)の形に変形−2(n+1)2tn(1−t)n
=n(n+1)tn−1(1−t)n−1⏟分配する{−2t(1−t)+1}−2(n+1)2tn(1−t)n
=−2n(n+1)tn(1−t)n+n(n+1)tn−1tn−1(1−t)n−1−2(n+1)2tn(1−t)n
青部分をまとめて
=−(4n+2)(n+1)tn(1−t)n+n(n+1)tn−1tn−1(1−t)n−1
A”n+1=−(4n+2)(n+1)tn(1−t)n+n(n+1)tn−1tn−1(1−t)n−1
In+1=πn+2(n+1)!∫10An+1sinπtdt
部分積分して
In+1=πn+2(n+1)!{[An+1−1πcosπt]10⏟0−∫10A′n+1−1πcosπtdt}
An+1 は「0」と「1」を代入すると「0」なので
In+1=πn+2(n+1)!{∫10A′n+11πcosπtdt}
もう1度部分積分して
In+1=πn+2(n+1)!{[A′n+11π2sinπt]10⏟0−∫10A”n+11π2sinπtdt}
A′n+1 は「0」と「1」を代入すると「0」なので
In+1=πn+2(n+1)!{−∫10A”n+11π2sinπtdt}
In+1=−πn(n+1)!∫10A”n+1sinπtdt
ここで、A”n+1 を代入して
In+1=−πn(n+1)!∫10{−(4n+2)(n+1)tn(1−t)n+n(n+1)tn−1tn−1(1−t)n−1}sinπtdt
展開して
In+1=−πn(n+1)!∫10−(4n+2)(n+1)tn(1−t)nsinπtdt+−πn(n+1)!∫10n(n+1)tn−1tn−1(1−t)n−1sinπtdt
係数を前に出す
In+1=πn(n+1)!n!(4n+2)(n+1)∫10tn(1−t)nsinπtdt+−πn(n+1)!(n−1)!n(n+1)∫10tn−1tn−1(1−t)n−1sinπtdt
約分などして形を整える
In+1=4n+2ππn+1n!∫10tn(1−t)nsinπtdt⏟In−πn(n−1)!∫10tn−1tn−1(1−t)n−1sinπtdt⏟In−1
In と In−1 に変換して
In+1=4n+2πIn−In−1
(証明終)

大変な計算でしたね。
目的の形へ式変形していく計算力が必要
(2)解説:πが無理数を証明
それでは、ここで「πが無理数の証明」をします。
背理法を使う
πを有理数と仮定する。
π=pq と表せる(p,qは互いに素な正の整数)
(1)より
In+1=4n+2πIn−In−1
In+1=4n+2pqIn−In−1
pIn+1=q(4n+2)In−pIn−1
両辺 pn 倍して
pn+1In+1=q(4n+2)pnIn−p2pn−1In−1
ここで Xn=pnIn とおくと
Xn+1=q(4n+2)Xn−p2Xn−1 ・・・(※)
Xn が正の整数を示す
(1)から
X0=p0I0=2
X1=p1I1=p4π=p4pq=4q
X0,X1 は整数なので、(※) から帰納的に Xn (n=0,1,2,⋯) は整数になる
さらに、In>0 より Xn>0 であるので、Xn は正の整数
limn→∞Xn=0 を示す
0≤t≤1 のとき
0≤tn(1−t)nsinπt≤1
0≤∫10tn(1−t)nsinπtdt≤∫101dt⏟1
辺々 pnπn+1n! 倍して
0≤pnπn+1n!∫10tn(1−t)nsinπtdt⏟Xn≤pnπn+1n!
0≤Xn≤π(pπ)nn!
ここで limn→∞π(pπ)nn!=0 なので、
ハサミウチの定理より
limn→∞Xn=0
以上より
Xn は「正の整数」であり、「limn→∞Xn=0」である
これは矛盾である。
したがって
π は「無理数」である

背理法を使って
「πが無理数であること」を示すことができました!
発想は難しい
背理法の考え方や、式変形などを追って理解できるとよい
類似した入試問題
tan1°は無理数か
京都大学で出題された無理数であることを示す問題です。
円周率が3.05より大きいことを示せ
東京大学で出題された円周率に関する問題です。
まとめ:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)
「πが無理数であることの証明」に関しての解説まとめは以下の通りです。
・「πが無理数であることの証明」の発想は難しい
・証明に必要な漸化式を求めるのは、式変形の力が必要
・背理法を利用して証明する
以上で「πが無理数であることの証明」を終わります。
少し複雑な内容でしたが、「πが無理数であること」と向き合うのも面白いですね。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
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