Processing math: 100%

【円周率は無理数】π が無理数であることを示せ。(2003・大阪大・後期)

未分類

今回は「πが無理数であることの証明」について解説します。

「πは無理数」ということは高校の授業で習いますが、「πが無理数であることの証明」は授業で取り扱わないことが多いです。「πは無理数だよ」「覚えておこう」みたいな感じですね。

この証明結構大変なんです。

「入試問題(2003・大阪大・後期)」でテーマとなったので、問題をときながら証明していきます。

この記事を読むと

・πが無理数であることの証明方法

・漸化式を求める式変形

・背理法を利用した証明方法

などについて理解することができます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)

問題

πを円周率とする。次の積分について考える。

I0=π10tn(1t)nsinπtdt

In=πn+1n!10tn(1t)nsinπtdt (n=0,1,2,)

(1)I0,I1 の値を求めよ。また、漸化式

In+1=4n+2πInIn1

が成立することを示せ。

(2)πが無理数であることを示せ。

ただし、正の数aに対してlimnann!=0が成立するとしてよい。

(2002・大阪大・後期・一部改)

解説:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)

(1)解説①:I0,I1を求める

(1)解説①

条件の式を確認

I0=π10tn(1t)nsinπtdt

In=πn+1n!10tn(1t)nsinπtdt (n=0,1,2,)

まずは I0 を求める

I0=π10sinπtdt

I0=π[1πcosπt]10=2

次に I1 を求める

I1=π210t(1t)sinπtdt

瞬間部分積分を使う

sinπt+t(1t)1πcosπt2t+11π2sinπt+21π3cosπt

I1=π2[t(1t)1πcosπt+(2t+1)1π2sinπt+2π3cosπt]10

①と②の部分は0,1を代入すると「0」になるので

I1=π24π3=4π

(1)解説②:漸化式証明

ここが大変なところです。

(1)解説②

In+1=4n+2πInIn1

を示す。

In+1=πn+2(n+1)!10tn+1(1t)n+1An+1sinπtdt

An+1=tn+1(1t)n+1 とおく

In+1=πn+2(n+1)!10An+1sinπtdt

部分積分のために先に An+1 を微分計算する

1回微分

An+1=(n+1)tn(1t)n+1tn+1(1t)n

2回微分

An+1=n(n+1)tn1(1t)n+1(n+1)2tn(1t)n(n+1)2tn(1t)n+n(n+1)tn+1(1t)n1

それぞれまとめて

=n(n+1)tn1(1t)n1((1t)2+t2)t(1t)2(n+1)2tn(1t)n

=n(n+1)tn1(1t)n1{2t(1t)+1}2(n+1)2tn(1t)n

=2n(n+1)tn(1t)n+n(n+1)tn1tn1(1t)n12(n+1)2tn(1t)n

青部分をまとめて

=(4n+2)(n+1)tn(1t)n+n(n+1)tn1tn1(1t)n1

An+1=(4n+2)(n+1)tn(1t)n+n(n+1)tn1tn1(1t)n1

In+1=πn+2(n+1)!10An+1sinπtdt

部分積分して

In+1=πn+2(n+1)!{[An+11πcosπt]10010An+11πcosπtdt}

An+1 は「0」と「1」を代入すると「0」なので

In+1=πn+2(n+1)!{10An+11πcosπtdt}

もう1度部分積分して

In+1=πn+2(n+1)!{[An+11π2sinπt]10010An+11π2sinπtdt}

An+1 は「0」と「1」を代入すると「0」なので

In+1=πn+2(n+1)!{10An+11π2sinπtdt}

In+1=πn(n+1)!10An+1sinπtdt

ここで、An+1 を代入して

In+1=πn(n+1)!10{(4n+2)(n+1)tn(1t)n+n(n+1)tn1tn1(1t)n1}sinπtdt

展開して

In+1=πn(n+1)!10(4n+2)(n+1)tn(1t)nsinπtdt+πn(n+1)!10n(n+1)tn1tn1(1t)n1sinπtdt

係数を前に出す

In+1=πn(n+1)!n!(4n+2)(n+1)10tn(1t)nsinπtdt+πn(n+1)!(n1)!n(n+1)10tn1tn1(1t)n1sinπtdt

約分などして形を整える

In+1=4n+2ππn+1n!10tn(1t)nsinπtdtInπn(n1)!10tn1tn1(1t)n1sinπtdtIn1

InIn1 に変換して

In+1=4n+2πInIn1

(証明終)

大変な計算でしたね。

目的の形へ式変形していく計算力が必要

(2)解説:πが無理数を証明

それでは、ここで「πが無理数の証明」をします。

(2)解説

背理法を使う

πを有理数と仮定する。

π=pq と表せる(p,qは互いに素な正の整数)

(1)より

In+1=4n+2πInIn1

In+1=4n+2pqInIn1

pIn+1=q(4n+2)InpIn1

両辺 pn 倍して

pn+1In+1=q(4n+2)pnInp2pn1In1

ここで Xn=pnIn とおくと

Xn+1=q(4n+2)Xnp2Xn1 ()

Xn が正の整数を示す

(1)から

X0=p0I0=2

X1=p1I1=p4π=p4pq=4q

X0,X1 は整数なので、(※) から帰納的に Xn (n=0,1,2,) は整数になる

さらに、In>0 より Xn>0 であるので、Xn は正の整数

limnXn=0 を示す

0t1 のとき

0tn(1t)nsinπt1

010tn(1t)nsinπtdt101dt1

辺々 pnπn+1n! 倍して

0pnπn+1n!10tn(1t)nsinπtdtXnpnπn+1n!

0Xnπ(pπ)nn!

ここで limnπ(pπ)nn!=0 なので、

ハサミウチの定理より

limnXn=0

以上より

Xn は「正の整数」であり、「limnXn=0」である

これは矛盾である。

したがって

π は「無理数」である

背理法を使って

「πが無理数であること」を示すことができました!

発想は難しい

背理法の考え方や、式変形などを追って理解できるとよい

類似した入試問題

tan1°は無理数か

京都大学で出題された無理数であることを示す問題です。

円周率が3.05より大きいことを示せ

東京大学で出題された円周率に関する問題です。

まとめ:πが無理数であることを示せ(2003・大阪大・後期)

「πが無理数であることの証明」に関しての解説まとめは以下の通りです。

・「πが無理数であることの証明」の発想は難しい

・証明に必要な漸化式を求めるのは、式変形の力が必要

・背理法を利用して証明する

以上で「πが無理数であることの証明」を終わります。

少し複雑な内容でしたが、「πが無理数であること」と向き合うのも面白いですね。

少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。

コメント

タイトルとURLをコピーしました