【円周率は無理数】π が無理数であることを示せ。（２００３・大阪大・後期）

今回は「πが無理数であることの証明」について解説します。

「πは無理数」ということは高校の授業で習いますが、「πが無理数であることの証明」は授業で取り扱わないことが多いです。「πは無理数だよ」「覚えておこう」みたいな感じですね。

この証明結構大変なんです。

「入試問題（２００３・大阪大・後期）」でテーマとなったので、問題をときながら証明していきます。

この記事を読むと

・πが無理数であることの証明方法

・漸化式を求める式変形

・背理法を利用した証明方法

などについて理解することができます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題：πが無理数であることを示せ（２００３・大阪大・後期）
解説：πが無理数であることを示せ（２００３・大阪大・後期）
類似した入試問題
まとめ：πが無理数であることを示せ（２００３・大阪大・後期）

問題：πが無理数であることを示せ（２００３・大阪大・後期）

問題

πを円周率とする。次の積分について考える。

$$I_0=\pi\int_0^1t^n(1-t)^nsin\pi t dt$$

$$I_n=\frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^n(1-t)^nsin\pi t dt　(n=0,1,2,\cdots)$$

（１）$I_0,I_1$ の値を求めよ。また、漸化式

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}$$

が成立することを示せ。

（２）πが無理数であることを示せ。

ただし、正の数aに対して$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$が成立するとしてよい。

（２００２・大阪大・後期・一部改）

解説：πが無理数であることを示せ（２００３・大阪大・後期）

（１）解説①：$I_0,I_1$を求める

（１）解説①

条件の式を確認

$$I_0=\pi\int_0^1t^n(1-t)^nsin\pi t dt$$

$$I_n=\frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^n(1-t)^nsin\pi t dt　(n=0,1,2,\cdots)$$

まずは $I_0$ を求める

$$I_0=\pi\int_0^1sin\pi t dt$$

$$I_0=\pi\left[-\frac{1}{\pi}cos\pi t\right]_0^1=2$$

次に $I_1$ を求める

$$I_1=\pi^2\int_0^1\color{blue}{t(1-t)}\color{green}{sin\pi t} dt$$

瞬間部分積分を使う

\begin{array}{ccc} && & \color{green}{sin\pi t} \\ & & & ↓\int \\①&+&\color{blue}{t(1-t)}&\dfrac{-1}{\pi}cos\pi t\\\hline&&’↓&↓\int\\ ②&-&-2t+1&\dfrac{-1}{\pi^2}sin\pi t\\\hline&&’↓&↓\int\\③&+&-2&\dfrac{1}{\pi^3}cos\pi t\\\hline\end{array}

$$I_1=\pi^2\left[\underbrace{t(1-t)\frac{-1}{\pi}cos\pi t}_{①}+\underbrace{(-2t+1)\frac{1}{\pi^2}sin\pi t}_{②} +\underbrace{\frac{-2}{\pi^3}cos\pi t}_{③}\right]_0^{1}$$

①と②の部分は0,1を代入すると「０」になるので

$$I_1=\pi^2\cdot\frac{4}{\pi^3}=\frac{4}{\pi}$$

（１）解説②：漸化式証明

ここが大変なところです。

（１）解説②

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}$$

を示す。$\require{cancel}$

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1\underbrace{t^{n+1}(1-t)^{n+1}}_{A_{n+1}}sin\pi t dt$$

$A_{n+1}=t^{n+1}(1-t)^{n+1}$ とおく

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1A_{n+1}sin\pi t dt$$

部分積分のために先に $A_{n+1}$ を微分計算する

１回微分

$$A_{n+1}’=(n+1)t^n(1-t)^{n+1}-t^{n+1}(1-t)^n$$

２回微分

\begin{array}{ccc} A”_{n+1}& = & \color{blue}{n(n+1)t^{n-1}(1-t)^{n+1}}\\&&\color{green}{-(n+1)^2t^n(1-t)^n} \\ &&\color{green}{-(n+1)^2t^n(1-t)^n} \\&&\color{blue}{+n(n+1)t^{n+1}(1-t)^{n-1}}\end{array}

それぞれまとめて

\begin{array}{ccc} & = & \color{blue}{n(n+1)t^{n-1}(1-t)^{n-1}\underbrace{((1-t)^2+t^2)}_{t(1-t)の形に変形}}\\&&\color{green}{-2(n+1)^2t^n(1-t)^n} \end{array}

\begin{array}{ccc} & = & \underbrace{n(n+1)t^{n-1}(1-t)^{n-1}}_{分配する}\{-2t(1-t)+1\}\\&&-2(n+1)^2t^n(1-t)^n \end{array}

\begin{array}{ccc} & = & \color{blue}{-2n(n+1)t^{n}(1-t)^{n}}+n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\\&&\color{blue}{-2(n+1)^2t^n(1-t)^n} \end{array}

青部分をまとめて

\begin{array}{ccc} & = & -(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}+n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\end{array}

\begin{array}{ccc} A”_{n+1}& = & -(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}+n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\end{array}

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1A_{n+1}sin\pi t dt$$

部分積分して

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\underbrace{\left[A_{n+1}\frac{-1}{\pi}cos\pi t\right]_0^1}_{0}-\int_0^1A_{n+1}’\frac{-1}{\pi}cos\pi t dt\}$$

$A_{n+1}$ は「０」と「１」を代入すると「０」なので

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\int_0^1A_{n+1}’\frac{1}{\pi}cos\pi t dt\}$$

もう１度部分積分して

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{\underbrace{\left[A_{n+1}’\frac{1}{\pi^2}sin\pi t\right]_0^1}_{0}-\int_0^1A”_{n+1}\frac{1}{\pi^2}sin\pi t dt\}$$

$A_{n+1}’$ は「０」と「１」を代入すると「０」なので

$$I_{n+1}=\frac{\pi^{n+2}}{(n+1)!}\{-\int_0^1A”_{n+1}\frac{1}{\pi^2}sin\pi t dt\}$$

$$I_{n+1}=\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1\color{blue}{A”_{n+1}}sin\pi t dt$$

ここで、$A”_{n+1}$ を代入して

$$I_{n+1}=\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1\{\color{blue}{-(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}+n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}}\}sin\pi t dt$$

展開して

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1-(4n+2)(n+1)t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt\\ &+\frac{-\pi^{n}}{(n+1)!}\int_0^1n(n+1)t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt \end{eqnarray}

係数を前に出す

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{\pi^{n}}{\cancel{(n+1)!}_{n!}}(4n+2)\cancel{(n+1)}\int_0^1t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt\\ &+\frac{-\pi^{n}}{\cancel{(n+1)!}_{(n-1)!}}\cancel{n(n+1)}\int_0^1t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt \end{eqnarray}

約分などして形を整える

\begin{eqnarray} I_{n+1}=&\frac{4n+2}{\pi}\underbrace{\frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^{n}(1-t)^{n}sin\pi tdt}_{I_n}\\ &-\underbrace{\frac{\pi^{n}}{(n-1)!}\int_0^1t^{n-1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}sin\pi tdt}_{I_{n-1}} \end{eqnarray}

$I_{n}$ と $I_{n-1}$ に変換して

$$I_{n+1}=\frac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}$$

（証明終）