今回は「微分と方程式（２０２２・東京大・理科）」について解説します。
早速みていきましょう。
問題：微分と方程式（2022・東京大・理科）
座標平面上の曲線
C:y=x3−x
を考える。
（１）座標平面上のすべての点Pが次の条件（i）を満たすことを示せ。
（i）点Pを通る直線lで、曲線Cと相違なる３点で交わるものが存在する。
（２）次の条件（ii）を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
（ii）点Pを通る直線lで、曲線Cと相違なる３点で交わり、かつ、直線lと曲線Cで囲まれた２つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
解説：微分と方程式（2022・東京大・理科）
（１）解説：３点で交わる直線lが存在することの証明
C:y=x3−x
C:y=x(x+1)(x−1)
P(a,b)、傾きをmとする
l:y=m(x−a)+b
Cとlの交点を考える
x3−x=mx−ma+b
x3−(m+1)x+ma−b=0
が３つの実数解を持つようなmが存在すればよい
f(x)=x3−(m+1)x+ma−b
とおいて
f(x) がx軸と３点で交わるようなmが存在すればよい
f(x)=x3−(m+1)x+ma−b
f′(x)=3x2−(m+1)
f′(x)=0 とすると m+1>0 として
x=±√m+13
p=√m+13 , p2=m+13 としたとき
f(p)⋅f(−p)<0となるようなmが存在すればよい
[{p3−(m+1)p}+ma−b][−{p3−(m+1)p}+ma−b]<0
p2=m+13 なので
[{m+13p−(m+1)p}+ma−b][−{m+13p−(m+1)p}+ma−b]<0
和と差の積の展開公式を使って
[{−2(m+1)p3}+ma−b][−{−2(m+1)p3}+ma−b]<0
−{−2(m+1)p3}2+(ma−b)2<0
−{4(m+1)2p29}+(ma−b)2<0
p2=m+13 なので
−{4(m+1)327}+(ma−b)2<0
−427(m+1)3+(ma−b)2<0
−427(m+1)3+(a(m+1)−a−b)2<0
M=m+1 とおいて
−427M3+(aM−a−b)2<0
−427M3+a2M2−2(a+b)M+(a+b)2<0
左辺は３乗の係数がマイナスの3次式であるので
十分大きなMをとればこの不等式を満たす
したがってmが存在する
以上よりl,Cが３点で交わるlが存在する
（２）解説：lとCで囲まれた面積が等しいときの点Pのとりうる範囲
{C:y=x3−xl:y=m(x−a)+b
の３つの交点を α,β,γ (α<β<γ) とおく
面積が等しくなるのは、以下のとき
∫γα(x3−x)−{m(x−a)+b}dx=0
∫γα(x−α)(x−β)(x−γ)dx=0
∫γα(x−α)(x−α+α−β)(x−α+α−γ)dx=0
∫γα(x−α)3+(2α−β−γ)(x−α)2+(α−β)(α−γ)(x−α)dx=0
[14(x−α)4+13(2α−β−γ)(x−α)3+12(α−β)(α−γ)(x−α)2]γα=0
14(γ−α)4+13(2α−β−γ)(γ−α)3+12(α−β)(α−γ)(γ−α)2=0
14(γ−α)4+13(2α−β−γ)(γ−α)3−12(α−β)(γ−α)3=0
両辺１２倍して
3(γ−α)4+4(2α−β−γ)(γ−α)3−6(α−β)(γ−α)3=0
{3(γ−α)+4(2α−β−γ)−6(α−β)}(γ−α)3=0
(−α+2β−γ)(γ−α)3=0
α≠γ より
−α+2β−γ=0・・・①
また
{C:y=x3−xl:y=m(x−a)+b
の３つの交点が α,β,γ なので
(x−α)(x−β)(x−γ)=x3−x−m(x−a)−b
x2 の係数を比較して
α+β+γ=0・・・②
①②を連立して β=0
つまりlは原点(0,0) を通る
lの式に代入して
0=m(0−a)+b
⇔b=am・・・③
{C:y=x3−xl:y=mx
Cとlが３点で交わるときを考えて
x3−x=mx
x{x2−(m+1)}=0
これが３つの実数解を持つのは m+1>0・・・④
{b=am・・・③m+1>0・・・④
を考えて
a=0 のとき b=0
a≠0 のとき m=ba
よって ④・・・ba+1>0
a>0 のとき b>−a
a<0 のとき b<−a
したがってPのとりうる範囲は以下の図の通り
ただし、境界は原点のみ含む
まとめ：微分と方程式（2022・東京大・理科）
微分と方程式（２０２２・東京大・理科）の解説まとめは以下の通りです。
・3次関数と直線の交点について考察する問題
・囲まれる面積が等しくなる条件を考える
以上で解説を終わります。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
コメント