【微分と方程式】「y=x^3-x」 と 「座標平面上の点Pから引いた直線」 で囲まれた２つの部分の面積が等しいときの点Pの取りうる範囲を図示せよ。（2022・東京大・理科）

Cとlの交点を考える

$$x^3-x=mx-ma+b$$

$$x^3-(m+1)x+ma-b=0$$

が３つの実数解を持つようなmが存在すればよい

$$f(x)=x^3-(m+1)x+ma-b$$

とおいて

\(f(x)\) がx軸と３点で交わるようなmが存在すればよい

$$f(x)=x^3-(m+1)x+ma-b$$

$$f'(x)=3x^2-(m+1)$$

\(f'(x)=0\) とすると　\(m+1>0\) として

$$x=\pm\sqrt{\frac{m+1}{3}}$$

\(p=\sqrt{\dfrac{m+1}{3}}　,　p^2=\dfrac{m+1}{3}\) としたとき

\(f(p)\cdot f(-p)<0\)となるようなmが存在すればよい

$$[\{p^3-(m+1)p\}+ma-b][-\{p^3-(m+1)p\}+ma-b]<0$$

\(p^2=\dfrac{m+1}{3}\) なので

$$[\{\frac{m+1}{3}p-(m+1)p\}+ma-b][-\{\frac{m+1}{3}p-(m+1)p\}+ma-b]<0$$

和と差の積の展開公式を使って

$$[\{-\frac{2(m+1)p}{3}\}+ma-b][-\{-\frac{2(m+1)p}{3}\}+ma-b]<0$$

$$-\{-\frac{2(m+1)p}{3}\}^2+(ma-b)^2<0$$

$$-\{\frac{4(m+1)^2p^2}{9}\}+(ma-b)^2<0$$

\(p^2=\dfrac{m+1}{3}\) なので

$$-\{\frac{4(m+1)^3}{27}\}+(ma-b)^2<0$$

$$-\frac{4}{27}(m+1)^3+(ma-b)^2<0$$

$$-\frac{4}{27}(m+1)^3+(a(m+1)-a-b)^2<0$$

\(M=m+1\) とおいて

$$-\frac{4}{27}M^3+(aM-a-b)^2<0$$

$$-\frac{4}{27}M^3+a^2M^2-2(a+b)M+(a+b)^2<0$$

左辺は３乗の係数がマイナスの3次式であるので

十分大きなMをとればこの不等式を満たす

したがってmが存在する

面積が等しくなるのは、以下のとき

$$\int_\alpha^\gamma (x^3-x)-\{m(x-a)+b\}dx=0$$

$$\int_\alpha^\gamma(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)dx=0$$

$$\int_\alpha^\gamma(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)(x-\alpha+\alpha-\gamma)dx=0$$

$$\int_\alpha^\gamma(x-\alpha)^3+(2\alpha-\beta-\gamma)(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(x-\alpha)dx=0$$

$$\left[\frac{1}{4}(x-\alpha)^4+\frac{1}{3}(2\alpha-\beta-\gamma)(x-\alpha)^3+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(x-\alpha)^2\right]_\alpha^\gamma=0$$

$$\frac{1}{4}(\gamma-\alpha)^4+\frac{1}{3}(2\alpha-\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)^3+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\gamma-\alpha)^2=0$$

$$\frac{1}{4}(\gamma-\alpha)^4+\frac{1}{3}(2\alpha-\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)^3-\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)^3=0$$

両辺１２倍して

$$3(\gamma-\alpha)^4+4(2\alpha-\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)^3-6(\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)^3=0$$

$$\{3(\gamma-\alpha)+4(2\alpha-\beta-\gamma)-6(\alpha-\beta)\}(\gamma-\alpha)^3=0$$

$$(-\alpha+2\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)^3=0$$

\(\alpha\neq\gamma\) より

$$-\alpha+2\beta-\gamma=0・・・①$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C:y=x^3-x \\ l:y=m(x-a)+b \end{array} \right. \end{eqnarray}

の３つの交点が \(\alpha,\beta,\gamma\) なので

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-x-m(x-a)-b$$

\(x^2\) の係数を比較して

$$\alpha+\beta+\gamma=0・・・②$$

lの式に代入して

$$0=m(0-a)+b$$

$$\Leftrightarrow b=am・・・③$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C:y=x^3-x \\ l:y=mx \end{array} \right. \end{eqnarray}

Cとlが３点で交わるときを考えて

$$x^3-x=mx$$

$$x\{x^2-(m+1)\}=0$$

これが３つの実数解を持つのは \(m+1>0・・・④\)

\(a=0\) のとき \(b=0\)

\(a\neq0\) のとき　\(m=\dfrac{b}{a}\)

よって \(④・・・\dfrac{b}{a}+1>0\)

\(a>0\) のとき \(b>-a\)

\(a<0\) のとき \(b<-a\)