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【整数】n^3-7n+9が素数となる整数nを求めよ(2018・京都大学)

整数

今回は整数問題です。

京都大学の過去問です

整数問題は、数多くある整数解の候補の中から絞り込んでいきます。

その際3つのアプローチが有効です。

整数問題のアプローチ

① 因数分解して絞り込む

② 不等式で絞り込む

③ 倍数、あまりで分類して絞り込む

毎回この観点を持つことで、整数問題はほとんど対応することができます。

この3パターンのアプローチを意識しつつ問題を見ていきます。

問題

それでは、問題を確認します。

問題

n37n+9 が素数となるような整数nを全て求めよ。(2018・京都大学)

素数については、以下の記事を参考にしてください。

解説

方針

方針は以下の通りです。

方針

n37n+9

に関しては、「因数分解」→思いつかない  「不等式」→思いつかない

よって「倍数やあまりで分類する」を考えたいと思います。

n37n+9が倍数やあまりに特徴があるか確認する

実験します。

n=0のとき 0-0+9=9

n=1のとき 1-7+9=3

n=2のとき 8-14+9=3

n=3のとき 27-21+9=15

n=4のとき 64-28+9=45

n=5のとき 125-35+9=99

n=-1のとき -1+7+9=15

n=-2のとき -8+14+9=15

n=-3のとき -27+21+9=3

n=-4のとき -64+28+9=-27

全て3の倍数になることが予想されます。

それが証明できれば、3の倍数の素数は「3」のみなので、n=1,2,-3と求めることができます。

3つの解法

3つの解法を紹介します。

解法1

nを3k,3k+1,3k+2に場合分けして、3の倍数であることを証明します。

解法1 n=3k n=3k+1 n=3k+2 で場合分け

kを整数として

① n=3k のとき

n37n+9

=(3k)37(3k)+9

=3(9k37k+3)

よって3の倍数となる

② n=3k+1 のとき

n37n+9

=(3k+1)37(3k+1)+9

=27k3+27k2+9k+121k7+9

=27k3+27k212k+3

=3(9k3+9k24k+1)

よって3の倍数となる

③ n=3k+2 のとき

n37n+9

=(3k+2)37(3k+2)+9

=27k3+54k2+36k+821k14+9

=27k3+54k2+15k+3

=3(9k3+18k2+5k+1)

よって3の倍数となる

①、②、③より n37n+9は3の倍数

3の倍数の素数は「3」のみである。

n=1のとき 1-7+9=3 、n=2のとき 8-14+9=3 、n=-3のとき -27+21+9=3

n37n+9=3 の実数解は多くとも3個なので

n=1,2,-3

解法2

合同式を利用して、n0,1,2(mod3)で場合分けして、3の倍数であることを証明します。

解法2 合同式利用

以下3を法とする (※補足1)

① n0のとき

n37n+9

90

② n1のとき

n37n+9

17+930

③ n2のとき

n37n+9

814+9150

したがって、①、②、③より n37n+9は3の倍数

3の倍数の素数は「3」のみである。よって

n37n+9=3

n37n+6=0

(※補足2)

(n1)(n2)(n+3)=0

よって n=1,2,-3

※補足1 合同式に関しては以下の記事

※補足2 3次方程式の解き方に関しては以下の記事

解法3

「連続する3整数が3の倍数になる」ことを利用して、3の倍数であることを証明します。

解法3 鮮やかな解法

「連続する3つの整数」は「3の倍数」になるので

(n1)n(n+1)=n3n

は3の倍数

n37n+9

=n3n6n+9

=(n1)n(n+1)+3(2n+3)

よって3の倍数となる。

以下解法2と同様にして

n=1,2,-3

この問題の解説は以上です。

整数問題は3つの大切なアプローチがありますので、そこを頭に入れた上で解いていきましょう。

京都大学の整数問題は以下の記事でも解説しているので参考にしてください。

まとめ:京都大学 整数問題

最後に整数問題のアプローチを3つ確認します。

整数問題のアプローチ

① 因数分解して絞り込む

② 不等式で絞り込む

③ 倍数、あまりで分類して絞り込む

今回は「倍数、あまりで分類して絞り込む」を利用しました。

また、数学の問題を解くうえで重要な

具体的な数値で実験する

もおさえてください。

以上で終わりたいと思います。それではまた。

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