【整数】n^3-7n+9が素数となる整数nを求めよ（2018・京都大学）

\(n^3-7n+9\) が素数となるような整数nを全て求めよ。（２０１８・京都大学）

$$n^3-7n+9$$

に関しては、「因数分解」→思いつかない　　「不等式」→思いつかない

よって「倍数やあまりで分類する」を考えたいと思います。

\(n^3-7n+9\)が倍数やあまりに特徴があるか確認する

実験します。

全て３の倍数になることが予想されます。

それが証明できれば、３の倍数の素数は「３」のみなので、n=1,2,-3と求めることができます。

kを整数として

①　\(n=3k\)　のとき

$$n^3-7n+9$$

$$=(3k)^3-7(3k)+9$$

$$=3(9k^3-7k+3)$$

よって３の倍数となる

②　\(n=3k+1\)　のとき

$$n^3-7n+9$$

$$=(3k+1)^3-7(3k+1)+9$$

$$=27k^3+27k^2+9k+1-21k-7+9$$

$$=27k^3+27k^2-12k+3$$

$$=3(9k^3+9k^2-4k+1)$$

よって３の倍数となる

③　\(n=3k+2\)　のとき

$$n^3-7n+9$$

$$=(3k+2)^3-7(3k+2)+9$$

$$=27k^3+54k^2+36k+8-21k-14+9$$

$$=27k^3+54k^2+15k+3$$

$$=3(9k^3+18k^2+5k+1)$$

よって３の倍数となる

①、②、③より　\(n^3-7n+9\)は３の倍数

３の倍数の素数は「３」のみである。

n=1のとき　1-7+9=3　、n=2のとき　8-14+9=3　、n=-3のとき　-27+21+9=3

\(n^3-7n+9=3\)　の実数解は多くとも3個なので

n=1,2,-3

以下３を法とする　（※補足１）

①　\(n\equiv0\)のとき

$$n^3-7n+9$$

$$\equiv9\equiv0$$

②　\(n\equiv1\)のとき

$$n^3-7n+9$$

$$\equiv1-7+9\equiv3\equiv0$$

③　\(n\equiv2\)のとき

$$n^3-7n+9$$

$$\equiv8-14+9\equiv15\equiv0$$

したがって、①、②、③より　\(n^3-7n+9\)は３の倍数

３の倍数の素数は「３」のみである。よって

$$n^3-7n+9=3$$

$$n^3-7n+6=0$$

(※補足２)

$$(n-1)(n-2)(n+3)=0$$

よって n=1,2,-3

「連続する３つの整数」は「３の倍数」になるので

$$(n-1)n(n+1)=n^3-n$$

は３の倍数

$$n^3-7n+9$$

$$=n^3-n-6n+9$$

$$=(n-1)n(n+1)+3(-2n+3)$$

よって３の倍数となる。

以下解法２と同様にして

n=1,2,-3