【組立除法】2次式で割る場合【裏技】

方程式と関数

2021.10.21 2021.10.05

組立除法って便利！整式の割り算早くなるし、ミスも減った。でも、1次式でしか割れないのか、、、2次式で割る時は地獄の筆算か、、、

という方に向けて、『2次式で割る組立除法もある！』ということを伝えたいと思います。

組立除法とは
組立除法　2次式で割る場合
1. 例題を通して解説
2. 練習問題
まとめ

組立除法とは

組立除法とは整式の割り算を効率的に求める方法です。

例題

$3x^3-4x^2-2x-1$を$x-2$で割った商と余りを求めよ。

解答

右図のように組立除法で計算できるので

商$3x^2+2x+2$　あまり$3$

\begin{array}{c|cc} & 3 & -4 & -2 & -1\\ 2 & &6 &4 & 4\\ \hline &3 & 2& 2&3 \end{array}

組立除法に関してはこの記事で詳しく解説しているので、よくわからない場合は確認して下さい。

【整式の除法】組立除法とは

今回は、整式の除法（割り算）において必ず知っておきたい計算方法「組立除法」の解説です。組立除法について解説組立除法とは整式の割り算をする際、１次式 x-a で割るときに使用することができる計算方法です。...

組立除法　2次式で割る場合

さて、組立除法は「割る式は1次式」という条件で使っていました。2次式の時も組立除法使えたらいいですよね。今回は2次式で割る場合の組立除法を解説します。　

それでは、例題を通して2次式で割る場合をみていきましょう

例題を通して解説

例題

$3x^3+5x^2-3x+6$を$x^2+2x-1$で割った商と余りを求めよ。

準備

割られる式の係数を順に書き出す

割る式のxの係数、定数項の符号を逆にして縦に書く。

右図の位置に×を書く。

\begin{array}{c|cc} & 3 & 5 & -3 & 6&\\-2& ×& & & ×&\\1&×&×&&\\ \hline & & & & \end{array}

ステップ１

3を下ろす

\begin{array}{c|cc} & \color{red}{3} & 5 & -3 & 6&\\-2& ×&& & ×&\\1&×&×&&\\ \hline &\color{red}{3}& & & \end{array}

ステップ2

$-2×\fbox{3}=-6$

$1×\fbox{3}=3$ をそれぞれ記入する。

\begin{array}{c|cc} &3& 5 & -3 & 6&\\\color{green}{-2}& ×&\color{green}{-6}& & ×&\\\color{blue}{1}&×&×&\color{blue}{3}&\\ \hline &\fbox{ 3 }& & & \end{array}

ステップ3

縦に足して

5+(-6)=-1を記入する

\begin{array}{c|cc} & 3 & \color{red}{5} & -3 & 6&\\-2& ×&\color{red}{-6}&& ×&\\1&×&×&3&\\ \hline &3&\color{red}{-1}& & \end{array}

ステップ4

$(-2)×(\fbox{-1})=2$

$1×(\fbox{-1})=-1$ をそれぞれ記入する。

\begin{array}{c|cc} & 3 & 5 & -3 & 6&\\\color{green}{-2}& ×&-6&\color{green}{2}& ×&\\\color{blue}{1}&×&×&3&\color{blue}{-1}\\ \hline &3&\fbox{-1}& & \end{array}

ステップ5

縦に足して

$(-3)+2+3=2$

$6+(-1)=5$ をそれぞれ記入する。

\begin{array}{c|cc} & 3 & 5 & \color{green}{-3} & \color{blue}{6}&\\-2& ×&-6&\color{green}{2}& ×&\\1&×&×&\color{green}{3}&\color{blue}{-1}\\ \hline &3&-1&\color{green}{2}&\color{blue}{5} \end{array}

仕上げ

あまりは右２桁を係数として

$$2x+5$$

商は残りを係数として

$$3x-1$$

\begin{array}{c|cc} & 3 & 5 & -3& 6&\\-2& ×&-6&2& ×&\\1&×&×&3&-1\\ \hline &\color{green}{商3}&\color{green}{-1}&\color{blue}{あまり2}&\color{blue}{5} \end{array}

それでは、練習問題を解いてみましょう。

練習問題

$2x^4+5x^3-2x^2+8x+2$を$x^2+3x-1$で割った商と余りを求めよ。

準備

割られる式の係数を順に書き出す

割る式のxの係数、定数項の符号を逆にして縦に書く。

右図の位置に×を書く。

\begin{array}{c|cc} & 2 & 5 & -2 & 8&2\\-3& ×& & &&×\\1&×&×&&\\ \hline & & & & \end{array}

計算

計算は結果のみ示します。

\begin{array}{c|cc} & 2 & 5 & -2 & 8&2\\-3& ×&-6 &3 &-9&×\\1&×&×&2&-1&3\\ \hline &2&-1 &3 &-2 &5 \end{array}

見出し

あまりは右２桁を係数として

$$-2x+5$$

商は残りを係数として

$$2x^2-x+3$$

\begin{array}{c|cc} & 2 & 5 & -2 & 8&2\\-3& ×&-6 &3 &-9&×\\1&×&×&2&-1&3\\ \hline &\color{green}{商2}&\color{green}{-1} &\color{green}{3} &\color{blue}{あまり-2} &\color{blue}{5} \end{array}