Σの計算ってどうやってやるの、、、？
公式はなんだっけ、、、？
こんな人のための記事です。
私わか（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
そんな私が、今回はΣ（シグマ）について解説します。
この記事を読むと、
「Σ（シグマ）の意味」、「Σ（シグマ）の重要公式」、「Σ（シグマ）の基本計算」「Σ（シグマ）の公式の証明」
が理解できます。
それでは、順番に見ていきましょう。
そもそもΣ（シグマ）とは
Σ（シグマ）の意味を確認しましょう。
$$\sum_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}_{n個}$$
\(a_k\)に
$$k=1,2,3,4,\cdots,n$$
を代入した値を全て足す、という意味です。
Σはsum(和)の頭文字sのギリシャ文字です。
Σ（シグマ）公式
それでは公式を確認しましょう。
$$1\quad\sum_{k=1}^{n} a=na$$
$$2\quad\sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)$$
$$3\quad\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
$$4\quad\sum_{k=1}^{n} k^3=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2$$
$$5\quad\sum_{k=1}^{n} ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
１は意味を考えるとすぐに分かると思います。
２、３、４は暗記する必要があります。
５は等比数列の和を表しているので、等比数列の和を理解できていればOKです。
どの公式も理解を深めるためには、証明を体験することが重要です。
※証明は記事後半で紹介します。
Σ（シグマ）の性質
シグマは次の性質を利用すると機械的に計算することができます。
$$\sum (a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$$
$$\sum (a_k-b_k)=\sum a_k-\sum b_k$$
$$\sum pa_k=p\sum a_k$$
和、差は分けることができるし、係数は前に出すことができます。
Σ（シグマ）計算方法
Σ（シグマ）の公式、性質を利用して、基本的な計算をしてみましょう。
$$\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)$$
$$=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k$$
$$=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$$
$$=\frac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)+3\}$$
$$=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+4)$$
$$=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$
$$\sum_{k=1}^{n}(3k^2-k+4)$$
$$=3\sum_{k=1}^{n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}4$$
$$=3\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)+4n$$
$$=3\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)+4n$$
$$=\frac{1}{2}n\{(n+1)(2n+1)-(n+1)+8\}$$
$$=\frac{1}{2}n\{2n^2+2n+8\}$$
$$=n\{n^2+n+4\}$$
$$\sum_{k=1}^{n}\{nk+(\frac{1}{2})^k\}$$
$$=n\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^n(\frac{1}{2})^k$$
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n(\frac{1}{2})^k}\)は 初項\(\dfrac{1}{2}\) 、公比\(\dfrac{1}{2}\)、 項数\(n\)の等比数列の和なので
$$=n\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{\frac{1}{2}\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}$$
$$=\frac{1}{2}n^2(n+1)+1-(\frac{1}{2})^n$$
Σ（シグマ）の公式、性質を利用すると同時に、くくりだしの因数分解で式を整理する力が必要です。
Σ（シグマ）公式 証明
最後に、公式の証明を見ていきます。
数列の和に対する理解を深めるためにも、証明を理解することは重要です。
頑張ってみていきましょう！
\(1\quad\sum_{k=1}^{n} a\)の証明
$$\sum_{k=1}^{n} a=\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{n個}=na$$
\(2\quad\sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)の証明
$$\quad\sum_{k=1}^{n} k=\underbrace{1+2+3+\cdots+(n-1)+n}_{n個}$$
これは初項１、末項nの等差数列なので\(\require{cancel}\)
$$=\frac{1}{2}n(n+1)$$
等差数列の和に関しては、以下の記事を参考にしてください。
\(3\quad\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)の証明
$$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$$
の式に、\(k=1,2,3,\cdots,n\)をそれぞれ代入して
\begin{array}{ccc} k=1,&\cancel{2^3}-1^3&=&3\times1^2+3\times1+1 \\ k=2,&\cancel{3^3}-\cancel{2^3}&=&3\times2^2+3\times2+1\\ k=3,&\cancel{4^3}-\cancel{3^3}&=&3\times3^2+3\times3+1\\ k=4,&\cancel{5^3}-\cancel{4^3}&=&3\times4^2+3\times4+1\\\cdots&&\cdots&\\k=n,&(n+1)^3-\cancel{n^3}&=&3\times n^2+3\times n+1\end{array}
左辺と右辺それぞれ足すと
$$(n+1)^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+1\times n$$
$$n^3+3n^2+3n=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\frac{1}{2}n(n+1)+n$$
$$3\sum_{k=1}^{n}k^2=n\{(n^2+3n+3)-\frac{3}{2}(n+1)-1\}$$
$$3\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{2}n\{(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2\}$$
$$3\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)$$
$$3\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$$
$$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
この証明方法は、応用できるのでぜひ理解しましょう。
\(4\quad\sum_{k=1}^{n} k^3=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2\)の証明
$$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$$
の式に、\(k=1,2,3,\cdots,n\)をそれぞれ代入して
\begin{array}{ccc} k=1,&\cancel{2^4}-1^4&=&4\times1^3+6\times1^2+4\times1+1 \\ k=2,&\cancel{3^4}-\cancel{2^4}&=&4\times2^3+6\times2^2+4\times2+1\\ k=3,&\cancel{4^4}-\cancel{3^4}&=&4\times3^3+6\times3^2+4\times3+1\\ k=4,&\cancel{5^4}-\cancel{4^4}&=&4\times4^3+6\times4^2+4\times4+1\\\cdots&&\cdots&\\k=n,&(n+1)^4-\cancel{n^4}&=&4\times n^3+6\times n^2+4\times n+1\end{array}
左辺と右辺それぞれ足すと
$$(n+1)^4-1^4=4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+1\times n$$
$$(n+1)^4-1^4=4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+4\frac{1}{2}n(n+1)+n$$
\(\sum_{k=1}^{n}k^3\)について整理すると
$$\sum_{k=1}^{n} k^3=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2$$
\(5\quad\sum_{k=1}^{n} ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)の証明
（左辺）\(=\sum_{k=1}^{n} ar^{n-1}\)
$$=a+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}$$
これは初項a、公比r、項数nの等差数列の和
$$S=a+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}$$
として
\begin{array}{c|cc} & S &=&a+&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}& \\ – & rS &=&&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}&+ar^{n}\\ \hline&S(1-r)&=&a&&-ar^{n} \end{array}
$$(1-r)S=a(1-r^{n})$$
よって
$$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
まとめ：Σ（シグマ）の公式、計算方法、証明
以上まとめると次の通りです。
・シグマは和の記号
・重要公式５パターンを使いこなすことで、シグマの計算をすることができる
・証明を理解することで覚えやすくなるし、使いこなせる
シグマの公式を使いこなして楽しい数列ライフを送っていきましょう！
以上参考になれば幸いです。それではまた。
コメント