今回は「2012・信州大学」の入試問題解説です。
グラフの概形を書く問題で、とても心温まる図形が浮かび上がります。
この記事を読むと
・偶関数の活用方法
・グラフの概形の書き方
・偶関数を活用した面積の求め方
・円の面積を利用した、積分計算
について理解できます。
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この記事は、「わか」が執筆しています。
私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題:ハート関数
\(-\sqrt5≤x≤\sqrt5\) で定義される2つの関数
$$f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2}$$
$$g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2}$$
に対し、次の問いに答えよ。
(1) 関数\(f(x)\)と\(g(x)\)の増減を調べ、\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)のグラフの概形をかけ。
(2) 2つの曲線\(y=f(x),g=f(x)\)で囲まれた図形の面積を求めよ。
解説
(1)解答(グラフの概形)
$$f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2}$$
$$g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2}$$
は偶関数なので、\(0≤x≤5\) を考える 【補足1】
$$f(x)=\sqrt x+\sqrt{5-x^2}$$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}$$
$$=\frac{\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt x}{\sqrt x\sqrt{5-x^2}}$$
ここで \(f'(x)=0\) とすると
$$\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt x=0$$
$$\sqrt{5-x^2}=2x\sqrt x$$
両辺2乗して
$$5-x^2=4x^3$$
$$4x^3+x^2-5=0$$
$$(x-1)(4x^2+5x+5)=0$$
これを満たす実数解は \(x=1\)
したがって、増減表は以下の通り
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 &\cdots&1&\cdots&\sqrt5 \\ \hline f'(x) & & +&0&-& \\ \hline f(x)&\sqrt5&\nearrow&3&\searrow&\sqrt[4]{5}\\\hline\end{array}
続いて
$$g(x)=\sqrt{x}-\sqrt{5-x^2}$$
$$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{2x}{2\sqrt{5-x^2}}$$
$$=\frac{\sqrt{5-x^2}+2x\sqrt x}{2\sqrt x\sqrt{5-x^2}}$$
\(g'(x)\) はつねに正となり、増減表は以下の通り
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 &\cdots&\sqrt5 \\ \hline g'(x) & & +& \\ \hline g(x)&-\sqrt5&\nearrow&\sqrt[4]{5}\\\hline\end{array}
\(f(x),g(x)\) が偶関数で、y軸対称であることに注意するとグラフは、以下の通り
![](https://waka-blog.com/wp-content/uploads/2022/02/スクリーンショット-2022-02-15-21.32.54.png)
(2)解答(グラフの面積)
求める面積Sは
$$S=2\int_{0}^{\sqrt5}(\sqrt x+\sqrt{5-x^2})-(\sqrt x-\sqrt{5-x^2})dx$$
$$=4\int_{0}^{\sqrt5}\sqrt{5-x^2}dx$$
ここで\(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt5}\sqrt{5-x^2}dx}\) は、半径\(\sqrt5\)の円を4分の1にした面積と等しい 【補足2】
$$S=4\cdot\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot(\sqrt5)^2=5\pi$$
【補足1】:偶関数と奇関数
今回の問題は、偶関数であることを利用しています。
偶関数・・・\(f(x)=f(-x)\) を満たす関数(「x」を「-x」に変えると、元の式になる)
\(y=f(x)\) のグラフは、y軸に対して対称
![](https://waka-blog.com/wp-content/uploads/2022/02/スクリーンショット-2022-02-15-22.12.40-300x295.png)
奇関数・・・\(f(x)=-f(-x)\)を満たす関数(「x」を「-x」に変えると、元の式の「-1倍」になる)
\(y=f(x)\) のグラフは、原点に対して対称
![](https://waka-blog.com/wp-content/uploads/2022/02/スクリーンショット-2022-02-15-22.17.07.png)
偶関数は、y軸に関して対称であることを利用し、定義域が正のときのみ考えて、グラフの概形、面積を求めています。
【補足2】:積分を円の面積に置き換える
\(\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx\) は、半径aの円の面積の一部ととらえて求める
\(y=\sqrt{a^2-x^2}\) とおくと、両辺2乗して
$$y^2=a^2-x^2 (y>0)$$
$$x^2+y^2=a^2 (y>0)$$
つまり、円の上半分である。
![](https://waka-blog.com/wp-content/uploads/2022/02/スクリーンショット-2022-02-15-22.43.47-300x238.png)
積分範囲が 0〜a なので、円の4分の1
まとめ:ハート関数
今回のまとめは以下の通り
・偶関数を利用し、x>0 にしぼって考える
・増減表を作ると、「ハート型のグラフ」をえがくことが出来る
・面積も偶関数を利用する
・積分計算で、「円の面積」に置き換えて考えると計算が楽
以上で、「ハート関数」をえがく信州大学の過去問解説を終わります。
少しでも参考になれば幸いです。それではまた。
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