【伝説の入試問題】ハート関数（2012・信州大学）

$-\sqrt5≤x≤\sqrt5$ で定義される2つの関数

$$f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2}$$

$$g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2}$$

に対し、次の問いに答えよ。

(1) 関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ、$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ。

(2) 2つの曲線$y=f(x),g=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ。

$$f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2}$$

$$g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2}$$

は偶関数なので、$0≤x≤5$ を考える　【補足１】

$$f(x)=\sqrt x+\sqrt{5-x^2}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}$$

$$=\frac{\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt x}{\sqrt x\sqrt{5-x^2}}$$

ここで $f'(x)=0$ とすると

$$\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt x=0$$

$$\sqrt{5-x^2}=2x\sqrt x$$

両辺２乗して

$$5-x^2=4x^3$$

$$4x^3+x^2-5=0$$

$$(x-1)(4x^2+5x+5)=0$$

これを満たす実数解は $x=1$

したがって、増減表は以下の通り

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 &\cdots&1&\cdots&\sqrt5 \\ \hline f'(x) & & +&0&-& \\ \hline f(x)&\sqrt5&\nearrow&3&\searrow&\sqrt[4]{5}\\\hline\end{array}$$

続いて

$$g(x)=\sqrt{x}-\sqrt{5-x^2}$$

$$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{2x}{2\sqrt{5-x^2}}$$

$$=\frac{\sqrt{5-x^2}+2x\sqrt x}{2\sqrt x\sqrt{5-x^2}}$$

$g'(x)$ はつねに正となり、増減表は以下の通り

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 &\cdots&\sqrt5 \\ \hline g'(x) & & +& \\ \hline g(x)&-\sqrt5&\nearrow&\sqrt[4]{5}\\\hline\end{array}$$

$f(x),g(x)$ が偶関数で、y軸対称であることに注意するとグラフは、以下の通り

求める面積Sは

$$S=2\int_{0}^{\sqrt5}(\sqrt x+\sqrt{5-x^2})-(\sqrt x-\sqrt{5-x^2})dx$$

$$=4\int_{0}^{\sqrt5}\sqrt{5-x^2}dx$$

ここで$\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt5}\sqrt{5-x^2}dx}$ は、半径$\sqrt5$の円を4分の１にした面積と等しい　【補足２】

$$S=4\cdot\frac{1}{4}\cdot\pi\cdot(\sqrt5)^2=5\pi$$