【因数分解】x^5+x^4+x^3+x^2+x+1を因数分解せよ。（２０２２・慶応大）〜3通りの解法〜

$$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$

$$=x^4(x+1)+x^2(x+1)+x+1$$

$$=(x+1)(\underbrace{x^4+x^2+1}_{複2次式})$$

$$=(x+1)\{(x^2+1)^2-x^2\}$$

$$=(x+1)\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}$$

$$=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

$$f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$

とおく

$f(-1)=0$ より

因数定理から $f(x)$ は $x+1$ を因数にもつ

組立除法を用いて

$$\begin{array}{c|cc} & 1&1&1&1&1&1 \\ -1 &&-1&0&-1&0&-1 \\ \hline &\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{red}{0}\\ \end{array}$$

$$f(x)=(x+1)(\underbrace{x^4+x^2+1}_{相反方程式})$$

$x\neq0$として、$x^2$ でくくる

$$f(x)=(x+1)x^2(x^2+1+\frac{1}{x^2})$$

$$f(x)=(x+1)x^2\{(x+\frac{1}{x})^2-2+1\}$$

$$f(x)=(x+1)x^2\{(x+\frac{1}{x})^2-1\}$$

$$f(x)=(x+1)x^2\{(x+\frac{1}{x})+1\}\{(x+\frac{1}{x})-1\}$$

$$f(x)=(x+1)x^2(x+\frac{1}{x}+1)(x+\frac{1}{x}-1)$$

$x^2$ を分配して

$$f(x)=(x+1)(x^2+1+x)(x^2+1-x)$$

これは $x=0$ のときも成り立つ

$$A=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$

とおく

両辺 $(x-1)$ 倍する

$$(x-1)A=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$(x-1)A=x^6-1$$

$$(x-1)A=(x^3+1)(x^3-1)$$

$$(x-1)A=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)$$

$x\neq1$として、両辺 $(x-1)$ で割って

$$A=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

これは $x=1$ のときも成り立つ