【数列】群数列　３つのポイントを整理

「●n群の最後の項」は全体の　$\frac{1}{2}n(n+1)$　項目なので

「●n-1群の最後の項」は全体の　$\frac{1}{2}(n-1)n$　項目

$$|\ \underbrace{\cdots,〇,●}_{n-1群}\ |\ \underbrace{☆,○,\cdots,●}_{n群}$$

「☆n群のはじめの項」は「●n-1群の最後の項」の次なので

全体の　$\frac{1}{2}(n-1)n+1$　項目

全体の数列 $\{a_k\}$ は、初項１、公差２の等差数列なので

　$a_k=2k-1$　（※補足２）

よって、「☆n群のはじめの項」は、k に　$\frac{1}{2}(n-1)n+1$　を代入して

$$2(\frac{1}{2}(n-1)n+1)$$

$$=n^2-n+1$$

「n群の最後の項」は

$a_k=2k-1$　のkに　$\frac{1}{2}n(n+1)$　を代入して

$$2\{\frac{1}{2}n(n+1)\}-1=n^2+n-1$$

$$|\ \underbrace{(n^2-n+1),\cdots,(n^2+n-1)}_{n群(n項)}|$$

n群の総数は

初項：$n^2-n+1$ 、末項：$n^2+n-1$　、項数n

の等差数列なので

$$\frac{1}{2}n\{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\}$$

$$=n^3$$

$\dfrac{5}{9}$ は 「９群の５項目」

「n群の最後の項」は全体の　$\frac{1}{2}n(n+1)$　項目なので

「８群の最後の項」は　$\frac{1}{2}\cdot8\cdot9=36$ 項目

よって「９群の５項目」は　36+5=41

41項目

「n群の最後の項」は全体の　$\frac{1}{2}n(n+1)$　項目なので

$n=19$ のとき、$\frac{1}{2}\cdot19\cdot20=190$

$n=20$ のとき、$\frac{1}{2}\cdot20\cdot21=210$

よって200項目は、「20群の10項目」

n群内の分子は初項１、公差２の等差数列なので

$$2k-1$$

よってn群内の10項目の分子は　$2\times10-1=19$

よって「2０群の10項目」は$\dfrac{19}{10}$