【数列】群数列　３つのポイントを整理

「●n群の最後の項」は全体の　\(\frac{1}{2}n(n+1)\)　項目なので

「●n-1群の最後の項」は全体の　\(\frac{1}{2}(n-1)n\)　項目

$$|\ \underbrace{\cdots,〇,●}_{n-1群}\ |\ \underbrace{☆,○,\cdots,●}_{n群}$$

「☆n群のはじめの項」は「●n-1群の最後の項」の次なので

全体の　\(\frac{1}{2}(n-1)n+1\)　項目

全体の数列 \(\{a_k\}\) は、初項１、公差２の等差数列なので

　\(a_k=2k-1\)　（※補足２）

よって、「☆n群のはじめの項」は、k に　\(\frac{1}{2}(n-1)n+1\)　を代入して

$$2(\frac{1}{2}(n-1)n+1)$$

$$=n^2-n+1$$

「n群の最後の項」は

\(a_k=2k-1\)　のkに　\(\frac{1}{2}n(n+1)\)　を代入して

$$2\{\frac{1}{2}n(n+1)\}-1=n^2+n-1$$

$$|\ \underbrace{(n^2-n+1),\cdots,(n^2+n-1)}_{n群(n項)}|$$

n群の総数は

初項：\(n^2-n+1\) 、末項：\(n^2+n-1\)　、項数n

の等差数列なので

$$\frac{1}{2}n\{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\}$$

$$=n^3$$

\(\dfrac{5}{9}\) は 「９群の５項目」

「n群の最後の項」は全体の　\(\frac{1}{2}n(n+1)\)　項目なので

「８群の最後の項」は　\(\frac{1}{2}\cdot8\cdot9=36\) 項目

よって「９群の５項目」は　36+5=41

41項目

「n群の最後の項」は全体の　\(\frac{1}{2}n(n+1)\)　項目なので

\(n=19\) のとき、\(\frac{1}{2}\cdot19\cdot20=190\)

\(n=20\) のとき、\(\frac{1}{2}\cdot20\cdot21=210\)

よって200項目は、「20群の10項目」

n群内の分子は初項１、公差２の等差数列なので

$$2k-1$$

よってn群内の10項目の分子は　\(2\times10-1=19\)

よって「2０群の10項目」は\(\dfrac{19}{10}\)