【入試頻出】$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ を求めよ【３乗根】

$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ を求めよ。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt[3]{\sqrt5+2} \\ y=\sqrt[3]{\sqrt5-2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

とおく

$$xy=\sqrt[3]{(\sqrt5)^2-2^2}=\sqrt[3]{5-4}=1・・・①$$

$x,y$ をそれぞれ３乗して

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^3=\sqrt5+2 \\ y^3=\sqrt5-2 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$$x^3-y^3=4$$

左辺を変形して　【補足１】

$$(x-y)^3+3xy(x-y)=4$$

①より $xy=1$ 、$A=x-y$ とおくと

$$A^3+3A=4$$

$$A^3+3A-4=0$$

組立除法を利用して因数分解する　【補足２】

$$\begin{array}{c|cc} & 1 & 0& 3 & -4 \\ 1 & & 1&1&4 \\ \hline &1&1&4&0\end{array}$$

$$(A-1)(A^2+A+4)=0$$

$$A=1,A=\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}$$

$A=x-y$ は (実数)ー(実数)なので、実数となるので、

$$A=1$$

したがって

$$A=x-y=\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}=1$$

$α=\sqrt[3]{\sqrt5+2}−\sqrt[3]{\sqrt5−2}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 3 次方程式 $x^3+3x−4=0$ の解を複素数の範囲で、すべて求めよ

(2) $α^3+3α$ は整数であることを示せ

(3) $α$ は整数であることを示せ

等式$\sqrt[3]{\sqrt5+2}−\sqrt[3]{\sqrt5−2}=1$・・・(※) 

が知られている。左辺を見て、右辺を想像することは一見難しい。これを証明するために以下の問いに答えよ。

(1) (※) の左辺を変形し、近似式

$$(1+x)^a≒1+ax+\frac{a(a−1)x^2}{2}+\frac{a(a−1)(a−2)x^3}{6} (|x|<1)$$

を用いて(a は実数)、その近似値を求めよ。ただし簡単にするため、$5^{-\frac{1}{3}}≒0.6$とする

(2) 3 次方程式 $x3+3x−4=0$ を用いて，上の等式 (※) を証明せよ