今回は、「横浜国立大学」の入試問題の解説です。２００９年に出題された年号に関する整数問題を解説します。
この記事を読むと、
・どうして良いかわからない問題のアプローチ方法
・数学的帰納法の使い所
・目的を見据えた式変形
について理解することができます。
この記事は、「わか」が執筆しています。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題
nを自然数とする。\(x^2+y^2=2009^n\) を満たす自然数x、yが存在することを示せ。
（2009・横浜国立大学）
全てのnに対して、自然数x、yが存在することを証明しなくてはなりません。なかなか難しそうですね、、、。
解説
難しそうな問題、何をして良いかわからない問題のまず第１歩は
具体的な数字を考えて、実験せよ。
です。具体的に考えることで、解答への糸口を見つけることができます。
それでは実験しながら発想を見ていきましょう。
まず、n=1 のとき実験
2009を素因数分解できないか試す（「困難は分割せよ！」）
3,5では割り切れない。７を試すと割り切れる
\(2009=7^2\times41\)である
\(41=○^2+△^2\) の形をつくることができればよい
\(41=4^2+5^2\) であることに気づくと、n=1のときは成り立つ
次に\(2009^n\)を考える
\(2009^n=(7^2\times41)^n=(7^n)^2\times41^n\)
\(41^n=○^2+△^2\)の形が作れることを示す。
全てのnに対して成立することを示すので、「数学的帰納法」が有効ではないかと考える。
以上の発想から解答をつくっていきます。
$$x^2+y^2=2009^n$$
$$x^2+y^2=(7^2\times41)^n$$
$$x^2+y^2=(7^n)^2\times41^n$$
\(41^n=a^2+b^2\) を満たす自然数\(a,b (a≤b)\)が存在すればよい
数学的帰納法でこれを示す
(i) \(n=1\) のとき
$$41=16+25=4^2+5^2$$
したがって成立する
(ii) \(n=k\) のとき成立すると仮定する
\(41^k=a^2+b^2\)を満たす自然数\(a,b (a≤b)\) が存在する
\(n=k+1\) のとき
$$41^{k+1}$$
$$=41\times41^k$$
$$=41(a^2+b^2)$$
$$=(4^2+5^2)(a^2+b^2)$$
$$=4^2a^2+4^2b^2+5^2a^2+5^2b^2$$
$$=(5b-4a)^2+(4b+5a)^2$$
（※補足）
したがって成立する
(i)(ii)より
\(41^n=a^2+b^2\) を満たす自然数\(a,b (a≤b)\)が存在する
$$x^2+y^2=(7^n)^2\times(a^2+b^2)$$
$$x^2+y^2=(7^n\times a)^2+(7^n\times b)^2$$
よって\(x^2+y^2=2009^n\)を満たす自然数x,yが存在する
因数分解\(\require{\cancel}\)
$$(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$
を知っていると、変形が思いつきやすいです。実際の入試問題では、この因数分解の誘導があります。
$$(左辺)=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$$
$$=a^2d^2\cancel{-2abcd}+b^2c^2+a^2c^2\cancel{+2abcd}+b^2d^2$$
$$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)$$
$$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(右辺)$$
数学的帰納法を利用して、全てのnに対して成り立つことを示す。
\(○^2+△^2\) の形を、変形しながら作っていく。
まとめ：x^2+y^2=2009^nを満たす自然数x、yの存在
今回のまとめは以下の通り。
・発想が思い浮かばない時は、具体的な数字で実験する
・全ての自然数で成り立つことを示すときは、「数学的帰納法」は強力な武器
・\(○^2+△^2\) の形をうまくつくる
以上、横浜国立大学の整数問題の過去問解説でした。
少しでもみなさんの参考になれば幸いです。それではまた。
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