高校生A君
平方完成ってなに。平方完成はなんのためにするの。
そんな疑問を解説します。
- 平方完成とは
- 平方完成をするメリット
- 平方完成の方法
平方完成とは
2次関数の表し方に以下の2通りがあります。
一般形 \(y=ax^2+bx+c\)
標準形 \(y=a(x-p)^2+q\)
一般形から標準形に式変形することを、平方完成といいます。
例 一般形\(y=2x^2+12x+15\) を 標準形\(y=2(x+3)^2-3\) に式変形する
平方完成をするメリット
平方完成をするメリットは以下の2点
- グラフの頂点が一瞬でわかる
- 平方数を作ると何かと便利
グラフの頂点が一瞬でわかる
標準形 \(y=a(x-p)^2+q\) の 頂点は ( p , q ) です。
(例) \(y=2(x+3)^2-3\) の 頂点は ( -3 , 3 )
2次関数のグラフを考えたり、描いたりする上で、頂点はとても重要な情報です。
平方数を作ると何かと便利
- 2次方程式の解を求める
- 不等式の証明 平方数が常に正であることを利用
平方完成の方法
実際に平方完成のやり方を見ていきましょう。
レベル1 平方完成(2乗の係数が1)
\(y=x^2+6x+4\)
\(y=x^2+6x+9-9+4\) ① x の係数「6」の半分の2乗「9」を足して引く
\(y=(x+3)^2-5\) ② 前の3つの項が因数分解し\((x+○)^2\)の形に
レベル2 平方完成(2乗の係数が1以外)
\(y=2x^2+12x+15\)
\(y=2(x^2+6x)+15\) ① x2の係数「2」でくくる
\(y=2(x^2+6x+9-9)+15\) ② x の係数「6」の半分の2乗「9」を足して引く
\(y=2(x+3)^2-3\) ③ 前の3つの項が因数分解し「-9」をかっこの外に出して計算
平方完成まとめ
平方完成は 2次式を一般形から、標準形に式変形する事です。グラフの頂点を求めるなど、様々な場面で登場し、活躍する式変形です。決まった手順を行うことで式変形する事ができます。しかし、符号の管理などミスをしやすい計算でもあります。練習を繰り返して、定着させましょう。
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