【方程式と関数】平方完成とは　

方程式と関数

2021.10.21 2021.09.20

高校生A君

平方完成ってなに。平方完成はなんのためにするの。

そんな疑問を解説します。

平方完成とは

2次関数の表し方に以下の２通りがあります。

一般形　 $y=ax^2+bx+c$

標準形　 $y=a(x-p)^2+q$

一般形から標準形に式変形することを、平方完成といいます。

例　一般形 $y=2x^2+12x+15$ 　を　標準形 $y=2(x+3)^2-3$ 　に式変形する

平方完成をするメリットは以下の２点

グラフの頂点が一瞬でわかる

標準形　 $y=a(x-p)^2+q$ 　の　頂点は　（ p , q ）です。

（例）　 $y=2(x+3)^2-3$ 　の　頂点は　（ -3 , 3 ）

2次関数のグラフを考えたり、描いたりする上で、頂点はとても重要な情報です。

平方数を作ると何かと便利

実際に平方完成のやり方を見ていきましょう。

レベル１　平方完成（２乗の係数が１）

$y=x^2+6x+4$ 　　　　　　

$y=x^2+6x+9-9+4$ 　　　①　x の係数「６」の半分の２乗「９」を足して引く

$y=(x+3)^2-5$ 　　　　　　　②　前の３つの項が因数分解し $(x+○)^2$ の形に　

レベル２　平方完成（２乗の係数が１以外）

$y=2x^2+12x+15$

$y=2(x^2+6x)+15$ 　　　　　　①　x²の係数「２」でくくる

$y=2(x^2+6x+9-9)+15$ 　　②　x の係数「６」の半分の２乗「９」を足して引く

$y=2(x+3)^2-3$ 　　　　　　　③　前の３つの項が因数分解し「-9」をかっこの外に出して計算

平方完成は　２次式を一般形から、標準形に式変形する事です。グラフの頂点を求めるなど、様々な場面で登場し、活躍する式変形です。決まった手順を行うことで式変形する事ができます。しかし、符号の管理などミスをしやすい計算でもあります。練習を繰り返して、定着させましょう。