【方程式と関数】平方完成とは 

方程式と関数
高校生A君
高校生A君

平方完成ってなに。平方完成はなんのためにするの。

そんな疑問を解説します。

  • 平方完成とは
  • 平方完成をするメリット
  • 平方完成の方法

平方完成とは

2次関数の表し方に以下の2通りがあります。

一般形 \(y=ax^2+bx+c\)

標準形 \(y=a(x-p)^2+q\)

一般形から標準形に式変形することを、平方完成といいます。

例 一般形\(y=2x^2+12x+15\) を 標準形\(y=2(x+3)^2-3\) に式変形する

平方完成をするメリット

平方完成をするメリットは以下の2点

  • グラフの頂点が一瞬でわかる
  • 平方数を作ると何かと便利
グラフの頂点が一瞬でわかる

標準形 \(y=a(x-p)^2+q\) の 頂点は ( p , q ) です。

(例) \(y=2(x+3)^2-3\) の 頂点は ( -3 , 3 )

2次関数のグラフを考えたり、描いたりする上で、頂点はとても重要な情報です。

平方数を作ると何かと便利
  • 2次方程式の解を求める 
  • 不等式の証明 平方数が常に正であることを利用

平方完成の方法

実際に平方完成のやり方を見ていきましょう。

レベル1 平方完成(2乗の係数が1)

\(y=x^2+6x+4\)       

\(y=x^2+6x+9-9+4\)   ① x の係数「6」の半分の2乗「9」を足して引く

\(y=(x+3)^2-5\)       ② 前の3つの項が因数分解し\((x+○)^2\)の形に 

レベル2 平方完成(2乗の係数が1以外)

\(y=2x^2+12x+15\)

\(y=2(x^2+6x)+15\)      ① x2の係数「2」でくくる

\(y=2(x^2+6x+9-9)+15\)  ② x の係数「6」の半分の2乗「9」を足して引く

\(y=2(x+3)^2-3\)       ③ 前の3つの項が因数分解し「-9」をかっこの外に出して計算

平方完成まとめ

平方完成は 2次式を一般形から、標準形に式変形する事です。グラフの頂点を求めるなど、様々な場面で登場し、活躍する式変形です。決まった手順を行うことで式変形する事ができます。しかし、符号の管理などミスをしやすい計算でもあります。練習を繰り返して、定着させましょう。

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