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【公式】2次方程式の解の公式

方程式と関数

今回は2次関数の解の公式についてです。

解の公式

公式 ax2+bx+c=0 (a0) の解はx=b±b24ac2a

解の公式の利用例

2次方程式を解く方法は、基本的に

  • 因数分解を利用
  • 解の公式を利用

の2通りの方法があります。

解の公式を利用すれば、必ず解く事ができます。

一方必ずしも因数分解できないこともあります。

しかし、因数分解を利用した方が、簡単な事が多いので、

因数分解を試してみて、できそうになければ解の公式を利用するのが良いでしょう。

まず因数分解!できなければ解の公式で解く

実際に2次方程式を解く流れを見てみましょう

問1

問 x2+4x12=0 を解け

これはすぐに因数分解が思いつきます

x2+4x12=0

(x+6)(x2)=0 と因数分解できるので

x=6,x=2

問2

 x2+5x+3=0 を解け

これはすぐに因数分解が思いつきませ。

そんな場合は、解の公式を利用しましょう。

解の公式に a=1 b=5 c=3 を代入して

ax2+bx+c=0 (a0) の解はx=b±b24ac2a

x=3±524×1×32×1

x=3±132

証明

平方完成を利用すると、解の公式を導く事ができます

左辺を平方完成します

ax2+bx+c=0 

a(x2+bax)+c=0 aをくくり出します。

a(x2+bax+b24a2b24a2)+c=0 半分の2乗を足して引く

a(x+b2a)2b24a+c=0 

a(x+b2a)2=b24ac 定数の項を右辺に移行

a(x+b2a)2=b24ac4a

(x+b2a)2=b24ac4a2 両辺aで割る

x+b2a=±b24ac2a

x=b2a±b24ac2a 式を整理して

x=b±b24ac2a 完成です!

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