【公式】２次方程式の解の公式

方程式と関数

2021.09.25 2021.09.23

今回は２次関数の解の公式についてです。

解の公式

公式　$ax^2+bx+c=0$ $(a\neq0)$ の解は$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

２次方程式を解く方法は、基本的に

の２通りの方法があります。

解の公式を利用すれば、必ず解く事ができます。

一方必ずしも因数分解できないこともあります。

しかし、因数分解を利用した方が、簡単な事が多いので、

因数分解を試してみて、できそうになければ解の公式を利用するのが良いでしょう。

まず因数分解！できなければ解の公式で解く

実際に２次方程式を解く流れを見てみましょう

問１

問　$x^2+4x-12=0$　を解け

これはすぐに因数分解が思いつきます

$x^2+4x-12=0$

$(x+6)(x-2)=0$　と因数分解できるので

$x=-6,x=2$

問２

　$x^2+5x+3=0$　を解け

これはすぐに因数分解が思いつきませ。

そんな場合は、解の公式を利用しましょう。

解の公式に　a=1 b=5 c=3 を代入して

$ax^2+bx+c=0$ $(a\neq0)$ の解は$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{5^2-4\times{1}\times{3}}}{2\times{1}}$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$$

平方完成を利用すると、解の公式を導く事ができます

左辺を平方完成します

$ax^2+bx+c=0$　

$a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0$　aをくくり出します。

$$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c=0$$　半分の２乗を足して引く

$$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$$　

$$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c$$　定数の項を右辺に移行

$$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$$

$$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$　両辺aで割る

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$　式を整理して

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$　完成です！