三角関数の単元の定期テストに頻出の基本問題です。
今回の問題は、
余弦定理
三角関数の相互関係
三角形の面積の公式
三角形の内接円の性質
などの基礎事項の定着を確認できる問題です。定期テストでは頻出の内容でしょう。
それではみていきましょう。
問題
図の三角形において、以下の問に答えよ。
（１）cosθを求めよ。
（２）sinθを求めよ。
（３）三角形の面積を求めよ。
（４）三角形の内接円の半径を求めよ。
（１）余弦定理より
$$cos\theta=\frac{5^2+3^2-7^2}{2\times5\times3}$$
$$cos\theta=-\frac{1}{2}$$
（２）三角形の相互関係より
$$sin^2\theta+cos^2\theta=1$$
を利用して、
$$sin^2\theta=1-cos^2\theta$$
$$sin^2\theta=1-\frac{1}{4}$$
$$sin^2\theta=\frac{3}{4}$$
\(0<\theta<180°\)より\(sin\theta>0\)なので
$$sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$$
（３）三角形の面積の公式より
$$S=\frac{1}{2}\times5\times3\times\frac{\sqrt3}{2}$$
$$S=\frac{15\sqrt3}{4}$$
（４）内接円の半径をrとすると ※ポイント
$$\frac{1}{2}\times r\times (5+3+7)=\frac{15\sqrt3}{4}$$
$$r=\frac{\sqrt3}{2}$$
三角形の内接円の半径を利用して、三角形の面積を表す。
$$面積S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$
三角形を（３つの三角形）に分けて、それぞれの面積を足し合わせる。
$$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$$
$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$
まとめ
- 余弦定理でcos → 正弦定理でsin → 面積公式 → 内接円の性質利用して、半径
- 内接円の半径は、３つの三角形に分けて考える
以上、内接円の半径を求める基本問題でした。
様々な確認事項があるため、よく出題される内容です。
しっかり確認しておきましょう。
少しでも参考になれば幸いです。
コメント