【公式】指数法則とは【計算方法】

今回は指数法則について解説します。

という方に向けて解説します。

それではみていきましょう。

そもそも指数って？

まず指数について確認します。

$$a\times a=a^2,a\times a\times a=a^3$$

のようにaを掛け合わせたものをaの累乗といいます。

aをn個掛け合わせたものはaのn乗といいます。

このとき、nを\(a^n\)の指数と言います。

指数法則とは

累乗の計算の際、次の指数法則が成り立ちます。

指数法則が成り立っていることを具体例で確認

累乗の掛け算は、指数部分を足せば良い

$$a^2\times a^3$$

$$=\underbrace{a\times a}_{2個}\times \underbrace{a\times a\times a}_{3個}$$

$$=a^{2+3}=a^5$$\(\require{cancel}\)

累乗の割り算は、指数部分を引けば良い

$$a^5\div a^3$$

$$=\frac{a^5}{a^3}$$

$$=\frac{\overbrace{a\times a\times a\times a\times a}^{5個}}{\underbrace{a\times a\times a}_{3個}}$$

$$=\frac{\overbrace{a\times a\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}}^{5個}}{\underbrace{\cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}}_{3個}}$$

$$=a^{5-3}=a^2$$

累乗の累乗は、指数部分をかければ良い

$$(a^2)^3$$

$$=\underbrace{a^2\times a^2\times a^2}_{3個}$$

$$=\underbrace{(a\times a)\times (a\times a)\times (a\times a)}_{3個}$$

$$=a^{2\times3}=a^6$$

このような場合は、分配法則のように３乗を分ければよい

$$(ab)^3$$

$$=(ab)\times(ab)\times(ab)$$

$$=(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)$$

$$=a^3\times b^3$$

分数の累乗は、分母分子それぞれ累乗にすればよい

$$(\frac{a}{b})^3$$

$$=\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}$$

$$=\frac{a\times a\times a}{b\times b\times b}$$

$$=\frac{a^3}{b^3}$$

指数法則を活用した計算例

それでは、指数法則を使って基本的な計算例をみていきましょう。

指数法則が成り立つように定義された数字

\(a^0\)ってなに？

と定義されています。

$$a^0=a^{2-2}=a^2\div a^2=1$$

このように指数法則を使った計算が成り立つので

$$a^0=1$$

とすると都合がよいです。

\(a^{-1}\)ってなに？

と定義されています。

$$a^{-1}=a^{2-3}=a^{2}\div a^{3}=\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a}$$

このように指数法則を使った計算が成り立つので

$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$

とすると都合がよいです。

まとめ

少しでも参考になれば幸いです。ありがとうございました。