【2重根号】3乗根の2重根号の外し方〜3通りの方法〜

方程式と関数

3乗根でさらに2重根号になっているけど、、、

どうすれば外すことが出来るの??

そんな方のために記事です。

この記事を読むと

  • 3乗根の2重根号の外し方(共役な数、対称性利用)
  • 3乗根の2重根号の外し方(外した形を予想)
  • 3乗根の2重根号の外し方(文字でおいて、多項式をつくる)
  • 3次方程式の解き方

を理解することができます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題

問題

2重根号を外せ 352+7352+7

複雑な式ですね、、、

どうすれば、根号を外せるのでしょう。

みていきましょう。

外し方1:共役な数を考える(おすすめ!)

352+7 の共役な数 3527 を考える

それぞれ、α,β でおいて、対称性を利用する

外し方1:共役な数を考える

α=352+7とおく

この共役な数を考えて

β=3527とおく

αβ=3(52)272=31=1

α,β をそれぞれ3乗して

{α3=52+7β3=527

α3β3 を考える

α3β3=14

(αβ)3+3αβ(αβ)=14

①よりαβ=1 で、αβ=X とおくと

X3+3X=14

X3+3X14=0

組立除法をつかって

 10314224141270

(X2)(X2+2X+7)=0

X=2,X=1±6

Xは実数なので αβ=2

α3+β3 を考える

α3+β3=102

(α+β)33αβ(α+β)=102

①よりαβ=1 で、α+β=Y とおくと

Y33Y=102

Y33Y102=0

組立除法をつかって

 1031022222810212250

(Y22)(Y+22Y+5)=0

Y=22,Y=2±3

Yは実数なので α+β=22

②③より

α=2+1,β=21

したがって

α=352+7=2+1

入試でよく取り上げる解法です。以下の記事を参考にしてください。

3次方程式を解く際は組立除法が便利です。以下の記事を参考にしてください。

外し方2:外した形を予想

352+7 を外した形が +2 と予想できる

外した形を予想

352+7=a+b2 とおく(a,b は有理数)

両辺3乗して

52+7=(a+b2)3

52+7=a3+32a2b+6ab2+22b3

52+7=a3+6ab2+(22b3+3a2b)2

係数を比較して

{a3+6ab2=72b3+3a2b=5

定数項を消すと

5a3+30ab214b321a2b=0

両辺 b3 で割って (b0 なので)

5(ab)321(ab)2+30(ab)14=0

ab=X とおくと

5X321X2+30X14=0

組立除法を利用して

 5213014151614516140

(X1)(5X216X+14)=0

Xは実数なので、X=1

ab=1a=b

①に代入して

7a37=0a3=1a=1

よって a=1,b=1

したがって

352+7=1+2

aとbに関する2式を連立させるところで手こずります。

外し方3:文字でおいて多項式をつくる

352+7=t とおいて、3乗

ルートだけ右辺に寄せて、2乗して多項式をつくる

多項式をつくる

352+7=t とおく

両辺3乗して

t3=52+7

t37=52

両辺2乗して

t614t3+49=50

t614t31=0

両辺 t3 で割る(t0 より)

t3141t3=0

(t1t)3+3t1t(t1t)14=0

(t1t)3+3(t1t)14=0

X=t1t とおくと

X3+3X14=0

 10314224141270

(X2)(X2+2X+7=0)

Xは実数なので X=2

t1t=2t22t1=0

t>0 より

t=1+2

tの6次方程式が出てきたときに、どのように処理をすれば良いかが難しいところです。

「複二次式の因数分解」を利用しています。以下の記事を参考にしてください。

※準備中

まとめ:3乗根の2重根号の外し方

「3乗根の2重根号の外し方」のまとめは以下の通りです。

  • 3乗根の2重根号の外し方を3通り解説
  • 1つ目「共役の数を考えて、対称性を利用」
  • 2つ目「外した形を予想して、文字でおく」
  • 3つ目「全体を文字でおいて、多項式をつくる」
  • 3次方程式を解く時は、「組立除法」が便利

以上で、「3乗根の2重根号の外し方」の解説は以上です。

少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。

コメント

タイトルとURLをコピーしました