
3乗根でさらに2重根号になっているけど、、、
どうすれば外すことが出来るの??
そんな方のために記事です。
この記事を読むと
- 3乗根の2重根号の外し方(共役な数、対称性利用)
- 3乗根の2重根号の外し方(外した形を予想)
- 3乗根の2重根号の外し方(文字でおいて、多項式をつくる)
- 3次方程式の解き方
を理解することができます。
この記事は「わか」が執筆しています。
私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題
2重根号を外せ 3√5√2+73√5√2+7

複雑な式ですね、、、
どうすれば、根号を外せるのでしょう。
みていきましょう。
外し方1:共役な数を考える(おすすめ!)
3√5√2+7 の共役な数 3√5√2−7 を考える
それぞれ、α,β でおいて、対称性を利用する
α=3√5√2+7とおく
この共役な数を考えて
β=3√5√2−7とおく
α⋅β=3√(5√2)2−72=3√1=1・・・①
α,β をそれぞれ3乗して
{α3=5√2+7β3=5√2−7
α3−β3 を考える
α3−β3=14
(α−β)3+3αβ(α−β)=14
①よりαβ=1 で、α−β=X とおくと
X3+3X=14
X3+3X−14=0
組立除法をつかって
103−14224141270
(X−2)(X2+2X+7)=0
X=2,X=−1±√−6
Xは実数なので α−β=2・・・②
α3+β3 を考える
α3+β3=10√2
(α+β)3−3αβ(α+β)=10√2
①よりαβ=1 で、α+β=Y とおくと
Y3−3Y=10√2
Y3−3Y−10√2=0
組立除法をつかって
10−3−10√22√22√2810√212√250
(Y−2√2)(Y+2√2Y+5)=0
Y=2√2,Y=−√2±√−3
Yは実数なので α+β=2√2・・・③
②③より
α=√2+1,β=√2−1
したがって
α=3√5√2+7=√2+1
入試でよく取り上げる解法です。以下の記事を参考にしてください。
3次方程式を解く際は組立除法が便利です。以下の記事を参考にしてください。
外し方2:外した形を予想
3√5√2+7 を外した形が ○+△√2 と予想できる
3√5√2+7=a+b√2 とおく(a,b は有理数)
両辺3乗して
5√2+7=(a+b√2)3
5√2+7=a3+3√2a2b+6ab2+2√2b3
5√2+7=a3+6ab2+(2√2b3+3a2b)√2
係数を比較して
{a3+6ab2=72b3+3a2b=5
定数項を消すと
5a3+30ab2−14b3−21a2b=0・・・①
両辺 b3 で割って (b≠0 なので)
5(ab)3−21(ab)2+30(ab)−14=0
ab=X とおくと
5X3−21X2+30X−14=0
組立除法を利用して
5−2130−1415−16145−16140
(X−1)(5X2−16X+14)=0
Xは実数なので、X=1
ab=1⇔a=b
①に代入して
7a3−7=0⇔a3=1⇔a=1
よって a=1,b=1
したがって
3√5√2+7=1+√2
aとbに関する2式を連立させるところで手こずります。
外し方3:文字でおいて多項式をつくる
3√5√2+7=t とおいて、3乗
ルートだけ右辺に寄せて、2乗して多項式をつくる
3√5√2+7=t とおく
両辺3乗して
t3=5√2+7
t3−7=5√2
両辺2乗して
t6−14t3+49=50
t6−14t3−1=0
両辺 t3 で割る(t≠0 より)
t3−14−1t3=0
(t−1t)3+3t1t(t−1t)−14=0
(t−1t)3+3(t−1t)−14=0
X=t−1t とおくと
X3+3X−14=0
103−14224141270
(X−2)(X2+2X+7=0)
Xは実数なので X=2
t−1t=2⇔t2−2t−1=0
t>0 より
t=1+√2
tの6次方程式が出てきたときに、どのように処理をすれば良いかが難しいところです。
「複二次式の因数分解」を利用しています。以下の記事を参考にしてください。
※準備中
まとめ:3乗根の2重根号の外し方
「3乗根の2重根号の外し方」のまとめは以下の通りです。
- 3乗根の2重根号の外し方を3通り解説
- 1つ目「共役の数を考えて、対称性を利用」
- 2つ目「外した形を予想して、文字でおく」
- 3つ目「全体を文字でおいて、多項式をつくる」
- 3次方程式を解く時は、「組立除法」が便利
以上で、「3乗根の2重根号の外し方」の解説は以上です。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
コメント