【２重根号】３乗根の２重根号の外し方〜3通りの方法〜

２重根号を外せ　\(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\)

\(\alpha=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\)とおく

この共役な数を考えて

\(\beta=\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\)とおく

$$\alpha\cdot\beta=\sqrt[3]{(5\sqrt2)^2-7^2}=\sqrt[3]{1}=1・・・①$$

\(\alpha , \beta\) をそれぞれ３乗して

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3=5\sqrt2+7 \\ \beta^3=5\sqrt2-7 \end{array} \right. \end{eqnarray}

②③より

$$\alpha=\sqrt2+1 , \beta=\sqrt2-1$$

したがって

$$\alpha=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}=\sqrt2+1$$

\(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}=a+b\sqrt2\) とおく（\( a , b \) は有理数）

両辺３乗して

$$5\sqrt2+7=(a+b\sqrt2)^3$$

$$5\sqrt2+7=a^3+3\sqrt2a^2b+6ab^2+2\sqrt2b^3$$

$$5\sqrt2+7=a^3+6ab^2+(2\sqrt2b^3+3a^2b)\sqrt2$$

係数を比較して

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a^3+6ab^2=7 \\ 2b^3+3a^2b=5 \end{array} \right. \end{eqnarray}

定数項を消すと

$$5a^3+30ab^2-14b^3-21a^2b=0・・・①$$

両辺 \(b^3\) で割って （\(b≠0 \) なので）

$$5(\frac{a}{b})^3-21(\frac{a}{b})^2+30(\frac{a}{b})-14=0$$

\(\dfrac{a}{b}=X\) とおくと

$$5X^3-21X^2+30X-14=0$$

組立除法を利用して

　\begin{array}{c|cc} & 5 & -21&30& -14\\ 1 & & 5&-16&14 \\\hline &5&-16&14&0 \\ \end{array}

$$(X-1)(5X^2-16X+14)=0$$

Xは実数なので、\(X=1\)

$$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$$

①に代入して

$$7a^3-7=0\Leftrightarrow a^3=1\Leftrightarrow a=1$$

よって　\(a=1 , b=1\)

したがって

$$\sqrt[3]{5\sqrt2+7}=1+\sqrt2 $$

\(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}=t\) とおく

両辺３乗して

$$t^3=5\sqrt2+7$$

$$t^3-7=5\sqrt2$$

両辺２乗して

$$t^6-14t^3+49=50$$

$$t^6-14t^3-1=0$$

両辺 \(t^3\) で割る（\(t\neq0\) より）

$$t^3-14-\frac{1}{t^3}=0$$

$$(t-\frac{1}{t})^3+3t\frac{1}{t}(t-\frac{1}{t})-14=0$$

$$(t-\frac{1}{t})^3+3(t-\frac{1}{t})-14=0$$

\(X=t-\dfrac{1}{t}\) とおくと

$$X^3+3X-14=0$$

　\begin{array}{c|cc} & 1 & 0&3& -14\\ 2 & & 2&4&14 \\\hline &1&2&7&0 \\ \end{array}

$$(X-2)(X^2+2X+7=0)$$

Xは実数なので　\(X=2\)

$$t-\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t^2-2t-1=0$$

\(t>0\) より

$$t=1+\sqrt2$$