【伝説の数学入試問題】加法定理を証明せよ。（東大・1999）

（１）一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。

（２）一般角α、βに対して、次の式を証明せよ。

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

（１）一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。

単位円（半径１の円）を考えたとき、円周上の点をP（x、y）とする。

OPとx軸のなす角をθとすると

x=cosθ 　 y=sinθ

と定義される。

単位円周上の点P、点Qに対して、OPとx軸、OQとx軸とのなす角をそれぞれα、βとする。

（１）で述べた定義より

P（cosα,sinα）、Q（cosβ,sinβ）

と表せる。

PQの距離を考えて、

$$PQ^2=(cos\alpha-cos\beta)^2+(sin\alpha-sin\beta)^2$$

$$PQ^2=cos^2\alpha-2cos\alpha cos\beta+cos^2\beta+sin^2\alpha-2sin\alpha sin\beta+sin^2\beta$$

$$PQ^2=2-2cos\alpha cos\beta -2sin\alpha sin\beta$$

$$PQ^2=2-2(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta)\cdots①$$

OPとOQのなす角をθとすると、\(cos\theta=cos(\alpha-\beta)\)と表せる。

三角形OPQに対して、余弦定理を利用して

$$PQ^2=1^2+1^2-2\times 1\times 1\times cos\theta$$

$$PQ^2=2-2cos(\alpha-\beta)\cdots②$$

①と②より

$$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$$

ここで、βを（ーβ）に変えて ※解説は補足

$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos(-\beta) +sin\alpha sin(-\beta)$$

$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$$

前半の証明より

$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$$

αを（α＋９０°）に変えて、　※解説は補足

$$cos(\alpha+\beta+90°)=cos(\alpha+90°) cos\beta -sin(\alpha+90°) sin\beta$$

$$-sin(\alpha+\beta)=-sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta$$

$$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} sin(-\theta) = -sin\theta \\ cos(-\theta)=cos\theta \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} sin(\theta+\frac{\pi}{2}) = cos\theta \\ cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-sin\theta \end{array} \right. \end{eqnarray}