【対称式】α＋β＝２　αβ＝４のとき　α^6＋b^6を求めよ（2021・青山学院大学）【３通りの解法】

$\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4$とする。このとき以下の値を求めよ。（2021・青山学院大学）

（１）$\alpha^6+\beta^6$

（２）$\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}$

まず

$$\alpha^3+\beta^3$$

$$=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$$

$$=2^3-3\cdot4\cdot2$$

$$=8-24=-16$$

さらに$\require{cancel}$

$$\alpha^6+\beta^6$$

$$=(\alpha^3+\beta^3)^2-2\alpha^3\beta^3$$

$$=(-16)^2-2\cdot4^3$$

$$=256-128=128$$

$$\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}$$

$$=\frac{(\cancel{\alpha-\beta})(\alpha^6+\alpha^5\beta+\alpha^4\beta^2+\alpha^3\beta^3+\alpha^2\beta^4+\alpha\beta^5+\beta^6)}{\cancel{\alpha-\beta}}$$

$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$

ここで

を代入して

$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$

$$=128+4\cdot(-16)+4^2\cdot(-4)+4^3$$

$$=128-64-64+64=64$$

$\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4$より

解と係数の関係から、$\alpha,\beta$　は　$x^2-2x+4=0$　の解である。

よって

$$\alpha^2-2\alpha+4=0$$

両辺$\alpha^n$倍すると

$$\alpha^{n+2}-2\alpha^{n+1}+4\alpha^n=0$$

同様に

$$\beta^{n+2}-2\beta^{n+1}+4\beta^n=0$$

辺々足して

$$\alpha^{n+2}+\beta^{n+2}-2(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+4(\alpha^n+\beta^n)=0$$

$A_n=\alpha^n+\beta^n$とおくと

（$A_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2　,　A_1=\alpha+\beta=2$）

$$A_{n+2}-2A_{n+1}+4A_n=0$$

$$A_{n+2}=2A_{n+1}-4A_n$$

$n=0,1,2\cdots$と次々に求める

$$A_{2}=2A_{1}-4A_0=2\cdot2-4\cdot2=-4$$

$$A_{3}=2A_{2}-4A_1=2\cdot(-4)-4\cdot2=-16$$

$$A_{4}=2A_{3}-4A_2=2\cdot(-16)-4\cdot(-4)=-16$$

$$A_{5}=2A_{4}-4A_3=2\cdot(-16)-4\cdot(-16)=32$$

$$A_{6}=2A_{5}-4A_4=2\cdot32-4\cdot(-16)=128$$

したがって$a^6+b^6=A_6=128$

$$\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}$$

$$=\frac{(\cancel{\alpha-\beta})(\alpha^6+\alpha^5\beta+\alpha^4\beta^2+\alpha^3\beta^3+\alpha^2\beta^4+\alpha\beta^5+\beta^6)}{\cancel{\alpha-\beta}}$$

$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$

（１）より

$$=128+4\cdot(-16)+4^2\cdot(-4)+4^3$$

$$=128-64-64+64=64$$

$\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4$より

解と係数の関係から、$\alpha,\beta$　は　$x^2-2x+4=0$　の解である。

よって

$$\alpha^2-2\alpha+4=0$$

両辺$\alpha+2$倍する

$$(\alpha+2)(\alpha^2-2\alpha+4)=0$$

$$\alpha^3+2^3=0$$

$$\alpha^3=-8$$

$$\alpha^6=(\alpha^3)^2=(-8)^2=64$$

同様に

$$\beta^6=64$$

よって

$$\alpha^6+\beta^6=64+64=128$$

$\alpha^6=64　,　\beta^6=64$より

両辺$\alpha$倍、$\beta$倍して

$$\alpha^7=64\alpha　,　\beta^7=64\beta$$

$$\frac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}=\frac{64\alpha-64\beta}{\alpha-\beta}$$

$$=\frac{64(\cancel{\alpha-\beta})}{\cancel{\alpha-\beta}}$$

$$=64$$