対称式の基本的な問題の解説です。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
今回は、青山学院大学の過去問を通して「対称式」の問題の解法パターンを解説します。
この記事を読むと「対称式の基本的な解法」を理解することができます。
それではそっさくみていきましょう。
問題
\(\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4\)とする。このとき以下の値を求めよ。（2021・青山学院大学）
（１）\(\alpha^6+\beta^6\)
（２）\(\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}\)
解法１
対称式の１番基本的な解法です。
対称式（\(\alpha\)と\(\beta\)をひっくり返しても、同じ式になる式）は基本対称式（\(\alpha+\beta,\alpha\beta\)）で表すことができる
まず
$$\alpha^3+\beta^3$$
$$=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$$
$$=2^3-3\cdot4\cdot2$$
$$=8-24=-16$$
さらに\(\require{cancel}\)
$$\alpha^6+\beta^6$$
$$=(\alpha^3+\beta^3)^2-2\alpha^3\beta^3$$
$$=(-16)^2-2\cdot4^3$$
$$=256-128=128$$
$$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})$$
と因数分解できる
$$\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}$$
$$=\frac{(\cancel{\alpha-\beta})(\alpha^6+\alpha^5\beta+\alpha^4\beta^2+\alpha^3\beta^3+\alpha^2\beta^4+\alpha\beta^5+\beta^6)}{\cancel{\alpha-\beta}}$$
$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$
ここで
$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$
$$=2^2-2\cdot4=-4$$
$$\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2$$
$$=(-4)^2-2\cdot4^2=-16$$
を代入して
$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$
$$=128+4\cdot(-16)+4^2\cdot(-4)+4^3$$
$$=128-64-64+64=64$$
解法２
漸化式を作る面白い解き方です。
漸化式を作って、機械的に\(\alpha^n+\beta^n\)を求める
\(\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4\)より
解と係数の関係から、\(\alpha,\beta\) は \(x^2-2x+4=0\) の解である。
よって
$$\alpha^2-2\alpha+4=0$$
両辺\(\alpha^n\)倍すると
$$\alpha^{n+2}-2\alpha^{n+1}+4\alpha^n=0$$
同様に
$$\beta^{n+2}-2\beta^{n+1}+4\beta^n=0$$
辺々足して
$$\alpha^{n+2}+\beta^{n+2}-2(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+4(\alpha^n+\beta^n)=0$$
\(A_n=\alpha^n+\beta^n\)とおくと
（\(A_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2 , A_1=\alpha+\beta=2\)）
$$A_{n+2}-2A_{n+1}+4A_n=0$$
$$A_{n+2}=2A_{n+1}-4A_n$$
\(n=0,1,2\cdots\)と次々に求める
$$A_{2}=2A_{1}-4A_0=2\cdot2-4\cdot2=-4$$
$$A_{3}=2A_{2}-4A_1=2\cdot(-4)-4\cdot2=-16$$
$$A_{4}=2A_{3}-4A_2=2\cdot(-16)-4\cdot(-4)=-16$$
$$A_{5}=2A_{4}-4A_3=2\cdot(-16)-4\cdot(-16)=32$$
$$A_{6}=2A_{5}-4A_4=2\cdot32-4\cdot(-16)=128$$
したがって\(a^6+b^6=A_6=128\)
$$\dfrac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}$$
$$=\frac{(\cancel{\alpha-\beta})(\alpha^6+\alpha^5\beta+\alpha^4\beta^2+\alpha^3\beta^3+\alpha^2\beta^4+\alpha\beta^5+\beta^6)}{\cancel{\alpha-\beta}}$$
$$=(\alpha^6+\beta^6)+\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)+\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)+\alpha^3\beta^3$$
（１）より
$$=128+4\cdot(-16)+4^2\cdot(-4)+4^3$$
$$=128-64-64+64=64$$
解法３
3乗の公式を使って、鮮やかな解法もあります。
3乗の公式
$$(x\pm y)(x^2\mp xy+y)=x^3\pm y^3$$
\(\alpha+\beta=2,\alpha\beta=4\)より
解と係数の関係から、\(\alpha,\beta\) は \(x^2-2x+4=0\) の解である。
よって
$$\alpha^2-2\alpha+4=0$$
両辺\(\alpha+2\)倍する
$$(\alpha+2)(\alpha^2-2\alpha+4)=0$$
$$\alpha^3+2^3=0$$
$$\alpha^3=-8$$
$$\alpha^6=(\alpha^3)^2=(-8)^2=64$$
同様に
$$\beta^6=64$$
よって
$$\alpha^6+\beta^6=64+64=128$$
\(\alpha^6=64 , \beta^6=64\)より
両辺\(\alpha\)倍、\(\beta\)倍して
$$\alpha^7=64\alpha , \beta^7=64\beta$$
$$\frac{\alpha^7-\beta^7}{\alpha-\beta}=\frac{64\alpha-64\beta}{\alpha-\beta}$$
$$=\frac{64(\cancel{\alpha-\beta})}{\cancel{\alpha-\beta}}$$
$$=64$$
まとめ：対称式の解き方３通り
今回は対称式の問題の３通りの解き方を紹介しました。
・解法１・・・対称式を基本対称式で表して代入する解法
・解法２・・・解と係数の関係を利用し、漸化式をつくる解法
・解法３・・・３乗の公式をうまく利用した、鮮やかな解法
「対称式」は定期考査、入試では頻出の題材です。
対称式の問題は、パターンを理解してマスターしましょう。
少しでも参考になれば幸いです。それではまた。
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