【整数】\(n^m\)は連続するn個の奇数の和で表せる　

実験

（m，n）＝（2，3）　　　\(2^3=8=3+5\)

（m，n）＝（2，4）　　　\(2^4=16=7+9\)

（m，n）＝（3，2）　　　\(3^2=9=1+3+5\)

（m，n）＝（3，3）　　　\(3^3=27=7+9+11\)

（m，n）＝（4，2）　　　\(4^2=16=1+3+5+7\)

思考のポイント

1. 平方数は連続奇数の和で表せる　\(n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\)
2. 連続奇数→初項が奇数、公差２の等差数列
3. 実験から、連続奇数の項の中心は\(m^n\div{m}\)となると予想できる　　　　　など

解法

連続するn個の奇数の和は

初項a　項数n　公差２　の等比数列の和として

\(\frac{1}{2}n(2n+2a-2)\)

\(=n(n+a-1)\)　　と表せる。これが　\(n^m\)と一致するので

\(n(n+a-1)=n^m\)

\((n+a-1)=n^{m-1}\)

\(a=n^{m-1}-n+1\)

ここで\(m>1\)より\(n^m\)とnの偶奇は一致する

よって\(n^m-n\)は偶数となる。

したがって\(a=n^{m-1}-n+1\)は奇数となる。

初項をこのように設定すれば、初項は奇数、項数n　公差２　の等差数列は存在する。

この等差数列は、連続するn個の奇数である。

よって\(n^m\)は連続するn個の奇数の和で表される。