【整数】$n^m$は連続するn個の奇数の和で表せる　

実験

（m，n）＝（2，3）　　　$2^3=8=3+5$

（m，n）＝（2，4）　　　$2^4=16=7+9$

（m，n）＝（3，2）　　　$3^2=9=1+3+5$

（m，n）＝（3，3）　　　$3^3=27=7+9+11$

（m，n）＝（4，2）　　　$4^2=16=1+3+5+7$

思考のポイント

1. 平方数は連続奇数の和で表せる　$n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$
2. 連続奇数→初項が奇数、公差２の等差数列
3. 実験から、連続奇数の項の中心は$m^n\div{m}$となると予想できる　　　　　など

解法

連続するn個の奇数の和は

初項a　項数n　公差２　の等比数列の和として

$\frac{1}{2}n(2n+2a-2)$

$=n(n+a-1)$　　と表せる。これが　$n^m$と一致するので

$n(n+a-1)=n^m$

$(n+a-1)=n^{m-1}$

$a=n^{m-1}-n+1$

ここで$m>1$より$n^m$とnの偶奇は一致する

よって$n^m-n$は偶数となる。

したがって$a=n^{m-1}-n+1$は奇数となる。

初項をこのように設定すれば、初項は奇数、項数n　公差２　の等差数列は存在する。

この等差数列は、連続するn個の奇数である。

よって$n^m$は連続するn個の奇数の和で表される。