【極限】$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{4n!}{3n!}}$

着眼点

解説

$$A_n=\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{4n!}{3n!}}$$

とおく。

$$A_n=\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)\cdots(3n+1)3n(3n-1)\cdots3\cdot2\cdot1}{3n(3n-1)(3n-2)(3n-3)\cdots3\cdot2\cdot1}}$$

どかっと約分できます

$$A_n=\frac{1}{n}\sqrt[n]{4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)\cdots(3n+1)}$$

$\frac{1}{n}$を根号の中に入れて

$$A_n=\sqrt[n]{\frac{4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)\cdots(3n+1)}{n\cdot{n}\cdot{n}\cdot{n}\cdots{n}}}$$

分子の順番を逆にして

$$A_n=\sqrt[n]{\frac{(3n+1)(3n+2)\cdots(3n+n-1)(3n+n)}{n\cdot{n}\cdot{n}\cdot{n}\cdots{n}}}$$

分母と分子はどちらもn個の積である。変形すると

$$A_n=\sqrt[n]{(3+\frac{1}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{3}{n})\cdots(3+\frac{n-1}{n})(3+\frac{n}{n})}$$

両辺logをとって

$$\log{A_n}=\log{\sqrt[n]{(3+\frac{1}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{3}{n})\cdots(3+\frac{n-1}{n})(3+\frac{n}{n})}}$$

$log$の性質を利用して$\frac{1}{n}$を前に出します

$$\log{A_n}=\frac{1}{n}\log{(3+\frac{1}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{3}{n})\cdots(3+\frac{n-1}{n})(3+\frac{n}{n})}$$

また$log$の性質を利用して和の形で表します。

$$\log{A_n}=\frac{1}{n}\{\log{(3+\frac{1}{n})}+\log{(3+\frac{2}{n})}+\cdots+\log{(3+\frac{n-1}{n})}+\log{(3+\frac{n}{n})}\}$$

$$\log{A_n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \log{(3+\frac{k}{n})}$$

両辺極限をとって、区分求積を利用すると

$$\lim_{n\to\infty}\log{A_n}=\int_{0}^{1} \log{(3+x)}dx$$

$$\lim_{n\to\infty}\log{A_n}=\left[(3+x)\log{(3+x)}-x\right]_0^1$$

$$\lim_{n\to\infty}log{A_n}=4\log{4}-1-3\log{3}$$

$$\lim_{n\to\infty}\log{A_n}=4\log{4}-1-3\log{3}$$

右辺を変形して

$$\lim_{n\to\infty}\log{A_n}=\log{4^4}-\log{e}-\log{3^3}$$

$$\lim_{n\to\infty}\log{A_n}=\log{\frac{256}{27e}}$$

したがって

$$\lim_{n\to\infty}A_n=\frac{256}{27e}$$

まとめ