【図形と方程式】円の接線の公式

$$x^2+y^2=25$$

上の点、（３、４）における接線の方程式を求める

x→３、y→４に変えればよい

接線の方程式は

$$3x+4y=25$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

上の点、（５、７）における接線の方程式を求める

$$x-2→5-2=3、y-3→7-3=4$$ に変えればよい

接線の方程式は

$$3(x-2)+4(y-3)=25$$

$$3x+4y=43$$

(※の直線と円の中心(a,b)までの距離)=(半径r)を示す。$\require{cancel}$

$$※\cdots(X-a)x+(Y-b)y-aX+a^2-bY+b^2-r^2=0$$

この直線と円の中心(a,b)までの距離dは

$$d=\frac{|(X-a)a+(Y-b)b-aX+a^2-bY+b^2-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$

$$=\frac{|\cancel{aX}\cancel{-a^2}\cancel{+bY}\cancel{-b^2}\cancel{-aX}\cancel{+a^2}\cancel{-bY}\cancel{+b^2}-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$

$$=\frac{|-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$

ここで$(X-a)^2+(Y-b)^2=r^2$より

$$d=\frac{|-r^2|}{\sqrt{r^2}}$$

半径r>0より

$$d=\frac{r^2}{r}$$

$$d=r$$

直線と中心の距離が半径と等しいので、

※の直線は、接線となる。

（証明終）