今回は、円の接線の公式について解説したいと思います。
円の中心が、原点のとき、原点からズレたとき、どちらも解説します。
それではみていきましょう。
公式
公式を確認します。
まずは、円の中心が原点のときです。
中心原点、半径rの円
$$x^2+y^2=r^2$$
周上の点（○,△）における接線は
$$○x+△y=r^2$$
続いて、円の中心が原点からズレたときです。
中心（a,b）、半径rの円
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
周上の点（○,△）における接線は
$$(○-a)(x-a)+(△-b)(x-b)=r^2$$
例題
例題を通じて、公式の使い方を確認しましょう。
$$x^2+y^2=25$$
上の点、（３、４）における接線の方程式を求める
x→３、y→４に変えればよい
接線の方程式は
$$3x+4y=25$$
$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$
上の点、（５、７）における接線の方程式を求める
$$x-2→5-2=3、y-3→7-3=4$$に変えればよい
接線の方程式は
$$3(x-2)+4(y-3)=25$$
$$3x+4y=43$$
公式証明
円の接線の公式を証明します。
次の公式を示します。
中心（a,b）、半径rの円
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
周上の点（X,Y）における接線は
$$(X-a)(x-a)+(Y-b)(x-b)=r^2\cdots※$$
(※の直線と円の中心(a,b)までの距離)=(半径r)を示す。\(\require{cancel}\)
$$※\cdots(X-a)x+(Y-b)y-aX+a^2-bY+b^2-r^2=0$$
この直線と円の中心(a,b)までの距離dは
$$d=\frac{|(X-a)a+(Y-b)b-aX+a^2-bY+b^2-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$
$$=\frac{|\cancel{aX}\cancel{-a^2}\cancel{+bY}\cancel{-b^2}\cancel{-aX}\cancel{+a^2}\cancel{-bY}\cancel{+b^2}-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$
$$=\frac{|-r^2|}{\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2}}$$
ここで\((X-a)^2+(Y-b)^2=r^2\)より
$$d=\frac{|-r^2|}{\sqrt{r^2}}$$
半径r>0より
$$d=\frac{r^2}{r}$$
$$d=r$$
直線と中心の距離が半径と等しいので、
※の直線は、接線となる。
（証明終）
以上で証明終わりです。
まとめ
以下の２パターンの公式を確認
中心原点の円の接線→周上の点がわかっていればすぐに求められる
中心原点からズレた円の接線→周上の点がわかっていればすぐに求められる
円の接線の公式使いこなせるといいと思います。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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