【解の公式】虚数係数の２次方程式の解【解と係数の関係】

2次方程式

$$x^2+(1-i)x+(-2+i)=0$$

の実数解を求めよ。

実数解をαとおく

$$\alpha^2+(1-i)\alpha+(-2+i)=0$$

$$\alpha^2+\alpha-2+(1-\alpha)i=0$$

よって

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha^2+\alpha-2=0\leftrightarrow(\alpha+2)(\alpha-1)=0\leftrightarrow\alpha=-2,1 \\ \alpha=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

よって

$$\alpha=1$$

2次方程式

$$x^2+(1-i)x+(-2+i)=0$$

の実数解と虚数解を求めよ。

実数解を \(\alpha\) , 虚数解を \(\beta\) とする

解と係数の関係より

$$\alpha+\beta=-1+i　,　\alpha\beta=-2+i$$

\(\alpha\)が実数であることに注意して

$$\beta=-1-\alpha+i　,　\beta=-\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}i$$

係数比較して

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -1-\alpha=-\dfrac{2}{\alpha}\\ \dfrac{1}{\alpha}=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

よって

$$\alpha=1　,　\beta=-2+i$$

2次方程式

$$x^2+(1-i)x+(-2+i)=0$$

の解を求めよ。

$$x^2+(1-i)x+(-2+i)=0$$

解の公式より

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{(1-i)^2-4(-2+i)}}{2}$$

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{8-6i}}{2}$$

ここからルートを外していきます

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{2}(4-3i)^{\frac{1}{2}}}{2}$$

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{2}\{5(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i)\}^{\frac{1}{2}}}{2}$$

\(cos\theta=\frac{4}{5}　,　sin\theta=\frac{3}{5}　　(0°<\theta<90°)\)　とおいて

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{10}(cos\theta-isin\theta)^{\frac{1}{2}}}{2}$$

ドモアブルの定理より

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{10}(cos\frac{\theta}{2}-isin\frac{\theta}{2})}{2}$$

半角の公式より

$$x=\frac{-1+i\pm\sqrt{10}(\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}i)}{2}$$

$$x=\frac{-1+i\pm(3-i)}{2}$$

$$x=1　,　 x=-2+i$$