虚数が係数にあるけど、どうやって解けばいいの、、、？
虚数の係数でも解の公式って使えるのかな、、、？
という人のための記事です。
今回は「虚数係数の２次方程式の解」について解説します。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
私が丁寧に解説していきます。
この記事を読むと
「虚数係数の２次方程式の解き方」「解と係数の解法」「解の公式は使えるのか」
が理解できます。
解説（実数解をαとおく）
2次方程式
x2+(1−i)x+(−2+i)=0
の実数解を求めよ。
基本的には、２次方程式の「解の公式」は有理数係数のときに使います。
そのため今回の問題は、解の公式ではなく別の方法で解きます。
実数解を持つ → 実数解をαとおく
を使って解いていきましょう。
実数解をαとおく
α2+(1−i)α+(−2+i)=0
α2+α−2+(1−α)i=0
よって
{α2+α−2=0↔(α+2)(α−1)=0↔α=−2,1α=1
よって
α=1
解説（解と係数の関係）
2次方程式
x2+(1−i)x+(−2+i)=0
の実数解と虚数解を求めよ。
２次方程式を考える上で、「解と係数の関係」はとても重要です。
「解と係数の関係」を使って解きます。
解と係数の関係
ax2+bx+c=0
の解を α,β とすると
α+β=−ba , αβ=ca
実数解を α , 虚数解を β とする
解と係数の関係より
α+β=−1+i , αβ=−2+i
αが実数であることに注意して
β=−1−α+i , β=−2α+1αi
係数比較して
{−1−α=−2α1α=1
よって
α=1 , β=−2+i
解説（解の公式）
2次方程式
x2+(1−i)x+(−2+i)=0
の解を求めよ。
最後に、「虚数係数」のとき「解の公式」を使って解いていきたいと思います。
解の公式
ax2+bx+c=0
の解は
x=−b±√b2−4ac2a
x2+(1−i)x+(−2+i)=0
解の公式より
x=−1+i±√(1−i)2−4(−2+i)2
x=−1+i±√8−6i2
ここからルートを外していきます
x=−1+i±√2(4−3i)122
x=−1+i±√2{5(45−35i)}122
cosθ=45 , sinθ=35 (0°<θ<90°) とおいて
x=−1+i±√10(cosθ−isinθ)122
ドモアブルの定理より
x=−1+i±√10(cosθ2−isinθ2)2
半角の公式より
sinθ2=√1−cosθ2=√1−452=1√10
cosθ2=√1+cosθ2=√1+452=3√10
x=−1+i±√10(3√10−1√10i)2
x=−1+i±(3−i)2
x=1 , x=−2+i
「虚数係数」でも「解の公式」は使えることがわかりました。
計算はかなり大変です、、、。
まとめ：虚数係数の２次方程式
今回のまとめは以下の通りです。
・実数解をαとおいて、係数を比較して解く
・解と係数の関係を使って、係数を比較して解く
・解の公式を使う
以上で解説を終わります。
少しでも参考になれば幸いです。それではまた。
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