【三角関数】$cos^218°$を求めよ。（2019・信州大学）

【三角関数】

$cos^218°$ を求めよ。（2019・信州大学）

方程式と関数

2021.11.08

今回は、信州大学の過去問を紹介します。

$cos^218°$ の値を求める問題です。

以前sin18°を求めましたね。

sin18°に関しての解説は以下の記事を参考にしてください。

それではみていきたいと思います。

問題
解説
別解
まとめ

問題

問　 $cos^218°$ の値を求めよ。　　　　　

（2019・信州大学一部改題）

解説

準備として、必要な公式を確認しておきます。

２倍角の公式

$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$

$\begin{eqnarray} cos2\theta= \left\{ \begin{array}{l} cos^2\theta-sin^2\theta \\ 1-2sin^2\theta \\ 2cos^2\theta-1\end{array} \right. \end{eqnarray}$

３倍角の公式

$sin3\theta=3sin\theta-4sin^3\theta$

$cos3\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$

2倍角の公式を変形して以下の式を使用します。

$cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$

それでは、解答見ていきましょう。

解答

$cos^218°=\frac{1+cos36°}{2}…①$

ここで、 $\theta=36°$ とすると

$3\theta+2\theta=180°$

$3\theta=180°-2\theta$

よって

$sin3\theta=sin(180°-2\theta)$

$sin3\theta=sin2\theta$

$3sin\theta-4sin^3\theta=2sin\theta cos\theta$

$sin\theta≠0$ より

$3-4sin^2\theta=2cos\theta$

$3-4(1-cos^2\theta)=2cos\theta$

$4cos^2\theta-2cos\theta-1=0$

$cos\theta=\frac{1\pm\sqrt5}{4}$

$cos\theta>0$ より

$cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{4}$

①の式に代入して

$cos^218°=\frac{\frac{5+\sqrt5}{4}}{2}$

$cos^218°=\frac{5+\sqrt5}{8}$

38°を５倍すると180°になることを利用した解法でした。

この他にも、別解が考えられます。

別解

別解も紹介します。

別解

sin18°を以前求めた方法で求めることができます。

$sin18°=\frac{-1+\sqrt5}{4}$

なので、

$cos^218°=1-sin^218°$

$=1-(\frac{-1+\sqrt5}{4})^2$

$=1-\frac{6-2\sqrt5}{16}$

$=1-\frac{3-\sqrt5}{8}$

$=\frac{5+\sqrt5}{8}$

まとめ

・36°を５倍すると有名角の180°になることを利用する

・２倍角や３倍角の公式を利用しする

以上、三角関数の値を求める問題でした。

様々な別解を考えることで、解法の引き出しが増えていきます。

別解を考えることを楽しめるといいですね！

少しでもみなさんの参考になれば幸いです。