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【整数】素数と素因数分解【基本】

整数

2021.11.10

素数ってたまに聞くけど、なんだっけ、、、

という方に向けて、今回は、素数と素因数分解について解説したいと思います。

それでは、みていきましょう。

目次

素数とは
１００までの素数
素因数分解
まとめ

素数とは

素数の定義

１とその数の他に約数がない正の整数

※１は素数ではない

例えば、

１１と１２の約数を考える

○１１の約数は１、１１

１１は、１とその数（１１）以外に約数を持たないので、素数

○１２の約数は１、２、３、４、６、１２

１２は、１とその数（１２）以外にも、２、３、４、６などの約数を持つので素数でない

私は、

素数・・・割り切れない数（２、３、５、７、１１・・・など）

素数でない・・・割り切れる数（４、６、８、９・・・など）

と覚えています。

１００までの素数

１００までの素数を見ていきましょう。 $\require{cancel}$

100までの素数

$\begin{array}{ccc}&\boxed{2}&\boxed{3}&\cancel{4}&\boxed{5}&\cancel{6}&\boxed{7}&\cancel{8}&\cancel{9}&\cancel{10}&& \\ \boxed{11}&\cancel{12}&\boxed{13}&\cancel{14}&\cancel{15}&\cancel{16}&\boxed{17}&\cancel{18}&\boxed{19}&\cancel{20}\\\cancel{21}&\cancel{22}&\boxed{23}&\cancel{24}&\cancel{25}&\cancel{26}&\cancel{27}&\cancel{28}&\boxed{29}&30\\\boxed{31}&\cancel{32}&\cancel{33}&\cancel{34}&\cancel{35}&\cancel{36}&\boxed{37}&\cancel{38}&\cancel{39}&\cancel{40} \\\boxed{41}&\cancel{42}&\boxed{43}&\cancel{44}&\cancel{45}&\cancel{46}&\boxed{47}&\cancel{48}&\cancel{49}&\cancel{50}\\\cancel{51}&\cancel{52}&\boxed{53}&\cancel{54}&\cancel{55}&\cancel{56}&\cancel{57}&\cancel{58}&\boxed{59}&\cancel{60}\\\boxed{61}&\cancel{62}&\cancel{63}&\cancel{64}&\cancel{65}&\cancel{66}&\boxed{67}&\cancel{68}&\cancel{69}&\cancel{70}\\\boxed{71}&\cancel{72}&\boxed{73}&\cancel{74}&\cancel{75}&\cancel{76}&\cancel{77}&\cancel{78}&\boxed{79}&\cancel{80}\\\cancel{81}&\cancel{82}&\boxed{83}&\cancel{84}&\cancel{85}&\cancel{86}&\cancel{87}&\cancel{88}&\boxed{89}&\cancel{90}\\\cancel{91}&\cancel{92}&\cancel{93}&\cancel{94}&\cancel{95}&\cancel{96}&\boxed{97}&\cancel{98}&\cancel{99}&\cancel{100}\end{array}$

「57」,「91」などは素数っぽいけど、素数ではないので注意！

$57=3\times19$

$91=7\times13$

です。

素数は、それ以上積の形に分けることのできない数字で、

英語では、prime number(プライムナンバー)といいます。

素数は、頭文字を取って「p」で表すことが多いです。

素因数分解

因数

因数

積の形で表したときの、その個々の数

例えば、

$30=5\times6$

と表したとき、５と６は30の因数という。

素因数

素因数

素数である因数

30を因数の積で表すことを続けていくと、最終的には

$30=2\times3\times5$

のように素数だけの積の形になる。

２、３、５のような素数の因数を素因数という。

素因数分解

素因数分解

整数を素因数の積の形に表すこと

整数を、素数になるまで積の形にしていくことを素因数分解と言います。

素因数分解の例題を見てみましょう。

例題（素因数分解）

$63=9\times7=3\times3\times7=\color{blue}{3^2\times7}$

$20=4\times5=2\times2\times5=\color{blue}{2^2\times5}$

$140=2\times7\times10=2\times7\times2\times5=\color{blue}{2^2\times5\times7}$

同じ素因数が掛け合わされているときは、累乗の形で

素因数分解の一意性

素因数分解は、どんな道をたどっても、必ず同じ形に行き着きます。

例えば、

$30=2\times15=2\times3\times5$

$30=3\times10=2\times3\times5$

$30=5\times6=2\times3\times5$

30をどのように素因数分解していっても、必ず

$2\times3\times5$

の形になりました。

これを素因数分解の一意性と言います。

素因数分解の一意性

素因数分解は、積の順序を除けば、ただ一通りである

「素因数分解」は、順番以外どんな方法でも、最終的には同じ答えに行き着くわけです。

素因数分解の一意性の証明は、この記事を参考にしてください。素晴らしいです。

素因数分解の一意性とその証明について | 高校数学の美しい物語

高校生向けの本ではスルーされている素因数分解の一意性の証明の必要性，落とし穴について解説します。

また、素数に関わる入試問題を解説しました。以下の記事を参考にしてください。

まとめ

「素数」「素因数分解」についてのまとめは以下です。

・素数とは、１とその数の他に約数がない正の整数

・素因数分解とは、整数を素因数の積の形で表すこと

・素因数分解は、積の順序を除いて、人通りで表せる

以上で「素数」「素因数分解」の解説は終わります。

少しでも参考になれば幸いです。

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