【複素数】z^6=1の解【１の６乗根】

\(z=r(cos\theta+isin\theta)\) とおく。

$$z^6=r^6(cos\theta+isin\theta)^6$$

ドモアブルの定理より

$$z^6=r^6(cos6\theta+isin6\theta)$$

ここで１を極形式で表すと

$$1=cos2k\pi+isin2k\pi(k=0,1,2,3,\cdots)$$

よって

$$r^6=1,6\theta=2\pi k(k=0,1,2,3,\cdots)$$

$$r=1,\theta=\frac{\pi}{3}k(k=0,1,2,3,\cdots)$$

よって

$$z=cos\frac{\pi}{3}k+isin\frac{\pi}{3}k (k=0,1,2,3,\cdots)$$

$$z=1,z=\frac{1+\sqrt{3}}{2},z=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},z=-1,z=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},z=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

極形式 \(r(cos\theta+i sin\theta)\) は

r は「原点からの距離(絶対値)」

θは「偏角（実軸と作る角度）」

を意味しています。

そして、この極形式で表したものの積は

ということを表します。

そのため、今回の\(r^6(cos\theta+isin\theta)^6=1\) は

原点からの距離は、「\(r^6\)倍して１となる」ので、r=1

偏角は「６回 θ回転して（１,０）（\(2\pi\)回転）に戻ってくる」ので、

\(2\pi\)を６等分して、\(\theta=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\)

ということが分かります。

つまり、

同様に、２周目（\(4\pi\)回転）、３周目（\(6\pi\)回転）、・・・、６周目（\(12\pi\)回転）も考えると

原点からの距離は、r=1

偏角は、　\(\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{3\pi}{3},\cdots,\dfrac{6\pi}{3}\)

となるので、

\(z^6=1\)の解は、複素数平面に表すと「正六角形」となることが分かります。

$$z^6=1$$

$$z^6-1=0$$

$$(z^3+1)(z^3-1)=0$$

$$(z+1)(z^2-z+1)(z-1)(z^2+z+1)=0$$

$$z=-1,z=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2},z=1,z=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$$