【円の方程式】３点を通る円の方程式〜３通りの解法〜【裏技】

３点 A(-5,4) B(-1,6) C(2,-3) を通る円の方程式を求めよ。

円の方程式を

$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

とおく

３点A(-5,4) B(-1,6) C(2,-3)を通るので、それぞれ代入して

$$-5a+4b+c+41=0　・・・①$$

$$-a+6b+c+37=0　・・・②$$

$$2a-3b+c+13=0　・・・③$$

①、②、③より

$$a=2,b=-2,c=-23$$

したがって、求める円の方程式は

$$x^2+y^2+2x-2y-23=0$$

点A(-5,4)　B(-1,6)　

線分ABの中点は $(-3,5)$

線分ABの傾きは $\frac{1}{2}$

よって、線分ABの垂直２等分線の方程式は

$$y=-2x-1 ・・・①$$

点A(-5,4)　C(2,-3)

線分ACの中点は $(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})$

線分ABの傾きは $-1$

よって、線分ABの垂直２等分線の方程式は

$$y=x+2 ・・・②$$

①、②を連立させて、交点Oは（-1,1）

交点Oは垂直２等分線の交点なので、三角形ABCの外心

よって線分AOが半径となる

$$AO=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$$

したがって、求める円の中心は（-1,1）半径は5 なので

$$(x+1)^2+(y-1)^2=25$$

A(-5,4) B(-1,6)

線分ABを直径とする円は

$$(x+5)(x+1)+(y-4)(y-6)=0　・・・①$$

（※補足１参照）

直線ABの方程式は

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\Leftrightarrow x-2y+13=0　・・・②$$

①、②の交点を通る円を

$$(x+5)(x+1)+(y-4)(y-6)+k(x-2y+13)=0$$

と表せる

（※補足２参照）

これがA(2,-3)を通るので

$$21+63+21k=0$$

$$k=-4$$

したがって、求める円の方程式は

$$(x+5)(x+1)+(y-4)(y-6)-4(x-2y+13)=0$$

$$x^2+2x+y^2-2y-23=0$$

２点を直径とする円上の点をP(X,Y)とすると

$\overrightarrow{AP}$と$\overrightarrow{BP}$の内積は０となる（直径の円周角は９０°より）ので

$$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0$$

束の考え方

今回は、円と直線の交点を通る円を表している