sinxを微分すると、cosxでしょ！
でも、それを証明するってどうやるの、、、
という方に、定義から微分をする方法について解説します。
三角関数の微分公式
(sinx)′=cosx
(cosx)′=−sinx
(tanx)′=1cos2x
微分においては、三角関数の微分は覚えなければならない必須項目です。
そのため、公式を覚えている人は多いと思います。
しかし、なんでこの公式になるのか？ということを聞かれた時に答えられますか。
少し自信ないですよね、、、。
「公式だけ使えれば、問題ない」「ごちゃごちゃ考えるとわけわからなるから結果だけで、別にいいかな」なんて思っている人も多いのではないでしょうか。私もそう思っていました、、、。
しかし、このような基本的な公式をきちんと導出することによって数学は、理解を深めることができます。
そのため今回は、sinxの微分を導いてみたいと思います。
sinxの定義による微分
微分の定義確認
まず、微分の定義を確認します。
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
微分の定義に関して解説は以下の記事を参考にしてください。
sinxの微分がcosxになることの証明
それでは、sinの微分がcosになる証明をしていきます。
微分の定義より
(sinx)′=limh→0sin(x+h)−sinxh
加法定理から ※補足１
=limh→0sinxcosh+cosxsinh−sinxh
=limh→0{sinx(cosh−1)h+cosxsinhh}
=limh→0{sinxcosh−1h+cosxsinhh}
ここで、
limh→0cosh−1h=0 ※補足２
limh→0sinhh=1より ※補足３
=limh→0{sinxcosh−1h⏟→0+cosxsinhh⏟→1}=cosx
補足１（加法定理）
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
三角関数の加法定理の証明に関しては、以下の記事を参考にしてください。
補足２
limh→0cosh−1h=0
ここで式変形を確認しましょう。
limh→0cosh−1h
分母分子cosh+1倍する
=limh→0cos2h−1h(cosh+1)
=limh→0−sin2hh(cosh+1)
=limh→0−sinhh⏟→1sinhcosh+1⏟→0
=0
補足３（三角関数の極限最重要公式）
limx→0sinxx=0
これは、三角関数の極限の最重要公式です。証明や例題に関しては、以下の記事を参考にしてください。
まとめ
今回のまとめは、以下の通り
- sinxを微分するとcosx
- sinxを微分の定義に従って微分して、加法定理、三角関数の極限の公式を使って、cosxを求めることができる
sinxも定義にしたがって微分していけば、cosxになることが分かりますね。
他にも、基本的な公式に立ち返って、導出過程を考える、証明をしてみるということによって、数学の力、面白さがわかると思います。
少し大変ですが、楽しんでみましょう。
以上、少しでも参考になれば幸いです。
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