【２次曲線】楕円を円に変換【楕円】

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2021.11.14

楕円を円に変換する問題を解いてみましょう。

楕円を円に変換して解く方法があります

問題

点$A(4,0)$を通る接線を楕円$x^2+4y^2=4$に引いた。その接点の座標を$(p,q)$とするとき、次の問いに答えよ。ただし、$p>0,q>0$とする。

（１）座標$(p,q)$を求めよ。

（２）楕円と接線と軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。

y軸方向に２倍に拡大すると、楕円は、半径２の円になる。また、変換前の接点をP(p,q),変換後の接点をP’とする。P'(p,2q)である。

$$OA=4,OP’=2,\angle OP’A=90°$$

より、

$$\angle P’0A=60°,P'(1,\sqrt3)$$

よってy座標を半分にして

$$P(1,\frac{\sqrt3}{2})$$

(2)面積は、△OAP’から扇形を引いて

$$(\frac{1}{2}\times4\times\sqrt3)-(\pi\times2^2\times\frac{1}{6})=2\sqrt3-\frac{2}{3}\pi$$

求める面積はこれの半分なので、

$$\sqrt3-\frac{1}{3}\pi$$

・楕円を拡大して、円に変換して考える

・円に変換すれば、円の図形的な性質を利用して解くことができる

・最後に元に戻すことを忘れずに

以上、楕円に関して解説でした。

少しでも参考になれば幸いです。