【定積分】$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sinx}dx$$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sinx}dx$の定積分はとても重要です。

それでは解説します。まず分母分子$sinx$倍

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sinx}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{sin^2x}dx$$

次に$sin^2x$を$(1-cos^2x)$に

$$= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{1-cos^2x}dx$$

分母を因数分解

$$= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{(1-cosx)(1+cosx)}dx$$

部分分数分解

$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{1-cosx}+\frac{sinx}{1+cosx}dx$$

前半後半ちょうど積分できるので

$$=\frac{1}{2}\left[\log(1-cosx)-\log(1+cosx)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

それぞれ代入し、計算すると

$$=\frac{1}{2}\left[\log\frac{1-cosx}{1+cosx}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$

$$=\frac{1}{2}\log\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

$$=\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$$

$$=\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}-1)^2$$

$$=\log(\sqrt{2}-1)$$

以上のような結果となる。式を整理するところまで練習すると、複雑な計算の際も応用していける。