\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sinx}dx\)の定積分はとても重要です。
それでは解説します。まず分母分子\(sinx\)倍
$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sinx}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{sin^2x}dx$$
次に\(sin^2x\)を\((1-cos^2x)\)に
$$= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{1-cos^2x}dx$$
分母を因数分解
$$= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{(1-cosx)(1+cosx)}dx$$
部分分数分解
$$=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx}{1-cosx}+\frac{sinx}{1+cosx}dx$$
前半後半ちょうど積分できるので
$$=\frac{1}{2}\left[\log(1-cosx)-\log(1+cosx)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$
それぞれ代入し、計算すると
$$=\frac{1}{2}\left[\log\frac{1-cosx}{1+cosx}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$
$$=\frac{1}{2}\log\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$$
$$=\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$$
$$=\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}-1)^2$$
$$=\log(\sqrt{2}-1)$$
以上のような結果となる。式を整理するところまで練習すると、複雑な計算の際も応用していける。
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