今回は「定積分（２００５・名古屋大）」の解説をします。
この記事を読むと
- 定積分（２００５・名古屋大）を「キングプロパティ」を利用して解く方法
- 定積分（２００５・名古屋大）を「部分分数分解」を利用して解く方法
について理解することができます。
この記事は「わか」が執筆しています。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題：定積分（２００５・名古屋大）
$$\int_0^\pi\frac{xsin^3x}{4-cos^2x}dx$$
を求めよ。
※ 実際の入試問題では（１）に誘導があります。
（２００５・名古屋大）
解説：定積分（２００５・名古屋大）
前半解説：対称性を利用（King Property）
$$I=\int_0^\pi\frac{xsin^3x}{4-cos^2x}dx$$
とおく
\(t=\pi-x\) とおく
$$dt=-dx$$
\begin{array}{c|cc} x & 0 & \rightarrow&\pi \\ \hline t & \pi & \rightarrow&0 \\ \end{array}
$$I=\int_\pi^0\frac{(\pi-t)sin^3(\pi-t)}{4-cos^2(\pi-t)}(-dt)$$
以下の変形をする
$$sin(\pi-t)=sint$$
$$cos(\pi-t)=-cost$$
$$I=\int_\pi^0\frac{(\pi-t)sin^3t}{4-cos^2t}(-dt)$$
積分区間を逆にして
$$I=\int_\color{blue}{0}^\color{blue}{\pi}\frac{(\pi-t)sin^3t}{4-cos^2t}\color{blue}{dt}$$
\((\pi-t)\) の部分を展開して
$$I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}-\underbrace{\color{blue}{\int_0^\pi\frac{tsin^3t}{4-cos^2t}dt}}_{\color{blue}{I}}$$
ここで \(I\) が現れるので、置き換えて
$$I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}-\color{blue}{I}$$
\(I\) を移項して
$$2I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}$$
$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^3t}{4-cos^2t}dt$$
中盤解説：置換
$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^3t}{4-cos^2t}dt$$
\(c=cost\) とおく
$$dc=-sintdt$$
\begin{array}{c|cc} t & 0 & \rightarrow&\pi \\ \hline c & 1 & \rightarrow&-1 \\ \end{array}
置換できるように変形する
$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^2t}{4-cos^2t}sintdt$$
$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ 1-cos^2t}{4-cos^2t}sintdt$$
ここで置換する
$$I=\frac{\pi}{2}\int_1^{-1}\frac{1-c^2}{4-c^2}(-dc)$$
積分区間を逆にして
$$I=\frac{\pi}{2}\int_{\color{blue}{-1}}^{\color{blue}{1}}\underbrace{\frac{1-c^2}{4-c^2}}_{偶関数}\color{blue}{dc}$$
偶関数の性質を利用して
$$I=\color{blue}{\pi}\int_{\color{blue}{0}}^{1}\frac{1-c^2}{4-c^2}dc$$
分子の字数を下げる
$$I=\pi\int_{0}^{1}\frac{(4-c^2)-3}{4-c^2}dc$$
$$I=\pi\int_{0}^{1}1+\frac{-3}{4-c^2}dc$$
$$I=\pi\left[ c\right]_0^1-3\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc$$
$$I=\pi-3\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc$$
後半解説：部分分数分解
$$I=\pi-3\pi\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc}_{Jとする}$$
Jの計算をする
$$J=\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc$$
$$J=\int_{0}^{1}\frac{1}{(2-c)(2+c)}dc$$
部分分数分解する
$$J=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-c}+\frac{1}{2+c}dc$$
$$J=\frac{1}{4}\left[-\log|2-c|+\log|2+c|\right]_0^1$$
$$J=\frac{1}{4}\left[\log|\frac{2+c}{2-c}|\right]_0^1$$
$$J=\frac{1}{4}\log3$$
したがって
$$I=\pi-3\pi(\frac{1}{4}\log3)$$
$$I=\pi-\frac{3\pi}{4}\log3$$
補足：キングプロパティ参考記事
キングプロパティの解説は以下の記事でも解説しています。ぜひご覧ください。
まとめ：定積分（２００５・名古屋大）
定積分（２００５・名古屋大）の解説まとめは以下の通りです。
- 定積分（２００５・名古屋大）は「キングプロパティを用いた積分」「置換積分」「部分分数分解」を利用して、解くことができる
- キングプロパティを利用した積分は、体験しておくことが大切
定積分（２００５・名古屋大）の解説は以上で終わります。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
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