【King Property　キングプロパティ】定積分（2005・名古屋大）【置換積分】

$$\int_0^\pi\frac{xsin^3x}{4-cos^2x}dx$$

を求めよ。

※　実際の入試問題では（１）に誘導があります。

（２００５・名古屋大）

$$I=\int_0^\pi\frac{xsin^3x}{4-cos^2x}dx$$

とおく

$$I=\int_\pi^0\frac{(\pi-t)sin^3(\pi-t)}{4-cos^2(\pi-t)}(-dt)$$

$$I=\int_\pi^0\frac{(\pi-t)sin^3t}{4-cos^2t}(-dt)$$

積分区間を逆にして

$$I=\int_\color{blue}{0}^\color{blue}{\pi}\frac{(\pi-t)sin^3t}{4-cos^2t}\color{blue}{dt}$$

$(\pi-t)$ の部分を展開して

$$I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}-\underbrace{\color{blue}{\int_0^\pi\frac{tsin^3t}{4-cos^2t}dt}}_{\color{blue}{I}}$$

ここで $I$ が現れるので、置き換えて

$$I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}-\color{blue}{I}$$

$I$ を移項して

$$2I=\int_0^\pi\frac{\pi sin^3t}{4-cos^2t}$$

$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^3t}{4-cos^2t}dt$$

$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^3t}{4-cos^2t}dt$$

置換できるように変形する

$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ sin^2t}{4-cos^2t}sintdt$$

$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{ 1-cos^2t}{4-cos^2t}sintdt$$

ここで置換する

$$I=\frac{\pi}{2}\int_1^{-1}\frac{1-c^2}{4-c^2}(-dc)$$

積分区間を逆にして

$$I=\frac{\pi}{2}\int_{\color{blue}{-1}}^{\color{blue}{1}}\underbrace{\frac{1-c^2}{4-c^2}}_{偶関数}\color{blue}{dc}$$

偶関数の性質を利用して

$$I=\color{blue}{\pi}\int_{\color{blue}{0}}^{1}\frac{1-c^2}{4-c^2}dc$$

分子の字数を下げる

$$I=\pi\int_{0}^{1}\frac{(4-c^2)-3}{4-c^2}dc$$

$$I=\pi\int_{0}^{1}1+\frac{-3}{4-c^2}dc$$

$$I=\pi\left[ c\right]_0^1-3\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc$$

$$I=\pi-3\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc$$

$$I=\pi-3\pi\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{1}{4-c^2}dc}_{Jとする}$$

したがって

$$I=\pi-3\pi(\frac{1}{4}\log3)$$

$$I=\pi-\frac{3\pi}{4}\log3$$