今回はキングプロパティの問題を解説します！
積分は計算量も多く難しいです。その中でも、初見で解くのは難しいのがこのキングプロパティを利用した積分です。しかし、一度体験すると利用していけるようになると思います。ぜひ挑戦してみましょう。
キングプロパティの問題 １
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$$
を求めよ
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx\cdots①$$
\(x=\frac{\pi}{2}-\theta\)とおくと
$$dx=d\theta$$
\begin{array}{c|cc} x & 0&→& \frac{\pi}{2} \\ \hline \theta & \frac{\pi}{2} &→ &0 \\ \end{array}
$$P=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}{sin(\frac{\pi}{2}-\theta)+cos(\frac{\pi}{2}-\theta)}(-d\theta)$$
$$P=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{cos\theta}{sin\theta+cos\theta}(-d\theta)$$
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos\theta}{sin\theta+cos\theta}d\theta\cdots②$$
①＋②をすると
$$2P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\theta+cos\theta}{sin\theta+cos\theta}d\theta$$
約分して
$$2P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\quad d\theta$$
$$2P=\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$
$$2P=\frac{\pi}{2}$$
$$P=\frac{\pi}{4}$$
もう１問解いてみよう。
キングプロパティの問題 ２
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2x}{sinx+cosx}dx$$
を求めよ
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2x}{sinx+cosx}dx\cdots①$$
\(x=\frac{\pi}{2}-\theta\)とおくと
$$dx=d\theta$$
\begin{array}{c|cc} x & 0&→& \frac{\pi}{2} \\ \hline \theta & \frac{\pi}{2} &→ &0 \\ \end{array}
$$P=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta)}{sin(\frac{\pi}{2}-\theta)+cos(\frac{\pi}{2}-\theta)}(-d\theta)$$
$$P=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{cos^2\theta}{sin\theta+cos\theta}(-d\theta)$$
$$P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2\theta}{sin\theta+cos\theta}d\theta\cdots②$$
①＋②をすると
$$2P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2\theta+cos^2\theta}{sin\theta+cos\theta}d\theta$$
$$2P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{sin\theta+cos\theta}d\theta$$
$$2P=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}{sin(\theta+\frac{\pi}{4})}}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{sin(\theta+\frac{\pi}{4})}}d\theta$$
\(t=\theta+\frac{\pi}{4}\)とおくと
$$dt=d\theta$$
\begin{array}{c|cc} \theta & 0&→& \frac{\pi}{2} \\ \hline t & \frac{\pi}{4} &→ &\frac{3}{4}\pi \\ \end{array}
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}{\frac{1}{sint}}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}{\frac{sinx}{sin^2t}}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}{\frac{sinx}{1-cos^2t}}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}{\frac{sinx}{(1-cost)(1+cost)}}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}\frac{sinx}{1-cost}+\frac{sinx}{1+cost}d\theta$$
$$2P=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\log{(1-cost)}-\log{(1+cost)}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}$$
$$2P=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\log{\frac{(1-cost)}{(1+cost)}}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}$$
$$2P=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[ \log{\frac{(1+\frac{1}{\sqrt2})}{(1-\frac{1}{\sqrt2})}}-\log{\frac{(1-\frac{1}{\sqrt2})}{(1+\frac{1}{\sqrt2})}}\right]$$
$$2P=\frac{1}{2\sqrt{2}} \log{\frac{(\sqrt2+1)^2}{(\sqrt2-1)^2}}$$
$$2P=\frac{1}{2\sqrt{2}} \log({\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}})^2$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}} \log({\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}})$$
$$2P=\frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt2+1)^2$$
$$2P=\frac{2}{\sqrt{2}}\log(\sqrt2+1)$$
よって
$$P=\frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt2+1)$$
今回はキングプロパティの問題でした。
ぜひ一度は体験してもらいたいと思います。
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