【積分】曲線 $\mathbf{y=log(1+cosx)}$ の $\mathbf{0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}}$ の部分の長さを求めよ【21 京都大】

積分

2021.09.27

今回は、京大の過去問です。

京大の入試は、積分の計算問題がよく出題されます。

積分計算は確かに複雑な問題も多くあります。

大学入試の積分は一度パターンを身につければ、見通しが立つようになるので、地道に頑張っていきましょう。

問題

曲線 $y=log(1+cosx)$ の $0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}$ の部分の長さを求めよ（京都大　22）

曲線の長さの公式

$y=f(x)$ の $a\leq{x}\leq{b}$ の部分の長さ（弧長）は

$\int_{a}^{b}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx$

解答

$y=log(1+cosx)$ の $0\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}$

xで微分する

$y’=\frac{-sinx}{1+cosx}$

曲線の長さのＬは（公式を利用して）

$L=\int_0^{\pi}\sqrt{1+(\frac{-sinx}{1+cosx})^2}dx$

根号の中を通分して

$L=\int_0^{\pi}\sqrt{\frac{2+2cosx}{(1+cosx)^2}}dx$

$\sqrt{2}$ をくくり出して、根号の中は $(1+cosx)$ で約分して

$L=\sqrt{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{\sqrt{1+cosx}}dx$

分母分子に $\sqrt{1-cosx}$ をかけて

$L=\sqrt{2}\int_0^{\pi}\frac{\sqrt{1-cosx}}{sinx}dx$

ここで $t=\sqrt{1-cosx}$ とおくと

$t^2=1-cosx$

$2tdt=sinxdx$

$\begin{array}{c|cc} x & 0 & → & \frac{\pi}{2} \\ \hline t & 0 & → & 1 \end{array}$

$cosx=1-t^2$

$cos^2x=1-2t^2+t^4$

$sin^2x=2t^2-t^4$

$L=\sqrt{2}\int_0^{1}\frac{2t^2}{2t^2-t^4}dx$

$L=2\sqrt{2}\int_0^{1}\frac{1}{2-t^2}dx$

分母を因数分解して

$L=2\sqrt{2}\int_0^{1}\frac{1}{(\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t)}dx$

部分分数分解して

$L=\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{2}-t}+\frac{1}{\sqrt{2}+t}dx$

ここで積分して

$L=\left[-log(\sqrt{2}-t)+log(\sqrt{2}+t)\right]_{0}^{1}$

logの性質から

$L=\left[log\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\right]_{0}^{1}$

$L=log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

分母を有理化して

$L=log(\sqrt{2}+1)^2$

$L=2log(\sqrt{2}+1)$

積分の方法は、他にも何通りかあります。

最後は式を整理しましょう。よく出てくるパターンです。

まとめ

抑えたいポイントは以下の点です。

曲線の長さの公式は意味も含めて抑えましょう
根号は丸ごと置換すると上手くいくことが多い
部分分数分解は必須スキル
logの性質を利用して、式の整理をして思考をクリアにできるように