人類の至宝とも言われる、「三平方の定理」の証明を２つ選んで、紹介します！
先日Twitterで、「息子は数学が大好き。学ぶことが大好き。『三平方の定理』の証明を見つけたと話をしてくれる」という内容のツイートがありました。
数学好きの少年が、三平方の定理の素晴らしさに感銘を受け、夢中で証明に取り組む姿が思い浮かび、素敵なことだなと思いました。
そこで今回は、数学好きの少年への敬意を払って、「三平方の定理」の証明を紹介します。
三平方の定理とは
そもそも三平方の定理ってなんだっけ、、、
まず定義を確認しましょう。
三平方の定理
直角三角形において、
$$a^2+b^2=c^2$$
ただし、cを斜辺とする
ピタゴラスが発見したので「ピタゴラスの定理」とも言われます。人類の大発見とも言えると思います。
ピタゴラスの物語はまた機会があれば紹介します。
この定理が成り立つことを証明していきます。
「三平方の定理」証明
「三平方の定理」の証明は、１００通り以上もあると言われています。本なども出版されていますので、興味のある方は、確認してみてください。
今回は、その中でも、簡潔で分かりやすい２つを紹介したいと思います。
証明１（正方形を利用した証明）
一番有名な証明だと思います。
図のような２つの正方形の面積を考えます。
（大きな正方形）から（４つの直角三角形）を引けば（小さな正方形）を求めることができます。
$$\color{blue}{(a+b)^2}-\frac{1}{2}ab\times4=\color{red}{c^2}$$
$$a^2+2ab+b^2-2ab=c^2$$
$$a^2+b^2=c^2$$
証明２（垂線を利用した証明）
図のような直角三角形を考えて、角度が90°になる点から垂線を下ろす。
全体の三角形と左の三角形は相似なので
$$a:x=c:a$$
$$x=\frac{a^2}{c}$$
全体の三角形と右の三角形は相似なので
$$b:y=c:b$$
$$y=\frac{b^2}{c}$$
\(x+y=c\)より
$$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}=c$$
$$a^2+b^2=c^2$$
まとめ
- 三平方の定理には、数多くの証明が知られている
- 正三角形の面積や相似を利用した証明方法が有名である。
以上、三平方の定理の証明紹介でした。他にも数多くの証明があります。好きな証明がありましたら、コメント欄で教えてください。
それでは、今日はここまで。皆さんと一緒に成長できれば嬉しいです。
コメント