【基本】三平方の定理　証明２選【人類の至宝】

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2021.10.14

人類の至宝とも言われる、「三平方の定理」の証明を２つ選んで、紹介します！

先日Twitterで、「息子は数学が大好き。学ぶことが大好き。『三平方の定理』の証明を見つけたと話をしてくれる」という内容のツイートがありました。

数学好きの少年が、三平方の定理の素晴らしさに感銘を受け、夢中で証明に取り組む姿が思い浮かび、素敵なことだなと思いました。

そこで今回は、数学好きの少年への敬意を払って、「三平方の定理」の証明を紹介します。

三平方の定理とは

そもそも三平方の定理ってなんだっけ、、、

まず定義を確認しましょう。

直角三角形において、

$a^2+b^2=c^2$

ただし、cを斜辺とする

ピタゴラスが発見したので「ピタゴラスの定理」とも言われます。人類の大発見とも言えると思います。

ピタゴラスの物語はまた機会があれば紹介します。

この定理が成り立つことを証明していきます。

「三平方の定理」の証明は、１００通り以上もあると言われています。本なども出版されていますので、興味のある方は、確認してみてください。

今回は、その中でも、簡潔で分かりやすい２つを紹介したいと思います。

一番有名な証明だと思います。

証明１（正方形を利用した証明）

図のような２つの正方形の面積を考えます。

（大きな正方形）から（４つの直角三角形）を引けば（小さな正方形）を求めることができます。

$\color{blue}{(a+b)^2}-\frac{1}{2}ab\times4=\color{red}{c^2}$

$a^2+2ab+b^2-2ab=c^2$

$a^2+b^2=c^2$

図のような直角三角形を考えて、角度が90°になる点から垂線を下ろす。

全体の三角形と左の三角形は相似なので

$a:x=c:a$

$x=\frac{a^2}{c}$

全体の三角形と右の三角形は相似なので

$b:y=c:b$

$y=\frac{b^2}{c}$

$x+y=c$ より

$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}=c$

$a^2+b^2=c^2$

以上、三平方の定理の証明紹介でした。他にも数多くの証明があります。好きな証明がありましたら、コメント欄で教えてください。

それでは、今日はここまで。皆さんと一緒に成長できれば嬉しいです。