【伝説の入試問題】静岡大学の入試問題は、富士山を図示させたらしい

$$f(x)=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^4-x^2+6 \quad (|x|≤1)\\ \displaystyle{\frac{12}{|x|+1}} \quad (|x|>1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$$g(x)=\frac{1}{2}cos(2\pi x)+\frac{7}{2} \quad(|x|≤2)$$

で定義する。このとき、次の問いに答えよ。

（１）$f(x)$、$g(x)$の増減を調べ、２曲線$C_1:y=f(x)$、$C_2:y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。

（２）$C_1$、$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ。

（２０００・静岡大学）

y=f(x)のグラフを考えます。

1.|x|≤1のとき

$$f(x)=x^4-x^2+6$$

$$f'(x)=4x^3-2x$$

$$f'(x)=4x(x+\frac{1}{\sqrt2})(x-\frac{1}{\sqrt2})$$

となるので、増減表は

$$\begin{array}{c|ccccc} x &-1& \cdots & -\frac{1}{\sqrt2} & \cdots & 0 & \cdots&\frac{1}{\sqrt2}&\cdots&1 \\ \hline f’(x) &&-&0& + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & 6&\searrow & \frac{23}{4} & \nearrow & 6 & \searrow &\frac{23}{4}&\nearrow&6\end{array}$$

したがって、グラフは

となる。

2.|x|>1のとき

まず、x>1を先に考えて、

$$f(x)=\frac{12}{x+1}$$

これは、分数関数で

$$\lim_{x\to1}f(x)=6\quad\lim_{x\to\infty} f(x)=0$$

に注意すると、

となる。

次に、x<-1を考えると、

$$f(x)=\frac{12}{-x+1}$$

となってこれは、x>0のときのグラフと、y軸に対象になっているので、

となる。

次に

$$g(x)=\frac{1}{2}cos(2\pi x)+\frac{7}{2} \quad(|x|≤2)$$

を考える。

これは、コサインのグラフなので、

これらを全て同一座標平面上に表すと、

となる。

図の面積を求める。y軸対称であることから、x＞０の場合を求めて２倍すればよい。

まず図の面積を求めます。

$$\int_0^1(x^4-x^2+6)-g(x)dx$$

$$=\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3+6x\right]_0^1-\left[G(x)\right]_0^1$$

$$=\frac{88}{15}-G(1)+G(0)$$

次に図の面積を求めます

$$\int_1^2(\frac{12}{x+1})-g(x)dx$$

$$=12\left[\log(x+1)\right]_1^2-\left[G(x)\right]_1^2$$

$$=12\log\frac{3}{2}-G(2)+G(1)$$

ここで、

$$G(x)=\int\frac{1}{2}cos(2\pi x)+\frac{7}{2}dx$$

$$G(x)=\frac{1}{4\pi}sin(2\pi x)+\frac{7}{2}x+C$$

より$G(2)=7\quad G(0)=0$なので、

2つの部分の面積を合計して、

$$=\frac{88}{15}+12\log\frac{3}{2}-G(2)+G(0)$$

$$=\frac{88}{15}+12\log\frac{3}{2}-7$$

$$=-\frac{17}{15}+12\log\frac{3}{2}$$

これを２倍して

$$=-\frac{34}{15}+24\log\frac{3}{2}$$