【数Ⅱ】３次方程式　解き方

そんな人に向けて、3次方程式の解き方を徹底解説します。

2次方程式の解き方は以下の記事を参考にして下さい。

３次方程式の解き方

3次方程式を解く３ステップ

例題

ステップ１

ステップ２

x＝１を代入すると「０」になることから、（xー１）を因数にもつ

($x^3+2x^2-4x+1)\div(x-1)$を計算して、因数分解します。

ステップ３

$$(\underbrace{x-1}_{１つの解})(\underbrace{x^2+3x-1}_{残りの解はココから！})=0$$

１つの解がx＝１であることは分かっているので、

残りの解は、２次方程式$x^2+3x-1=0$を解けばよい。

２次方程式の「解の公式」を利用して$\displaystyle{x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}}$

したがって、$x^3+2x^2-4x+1=0$の解は

$$x=1,x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$$

補足

３次方程式の難しいポイント

３次方程式の難しいポイントは、圧倒的にステップ１の有理数解を見つけることです。

と私も思っていました。実は、以下の事実を使うと代入する有理数の候補を絞ることができます。

有理数解はこの中にある！

つまり、

例１

$x^3-2x^2-7x+2=0$の有理数解の候補は、

$$1,-1,2,-2$$

の4個のみです。この中から探すと、x＝−２が解であることが見つかります。

例２

$2x^3-3x^2-7x+3=0$の有理数解の候補は、

$$1,-1,3,-3,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2},-\frac{3}{2}$$

の8個です。この中から探すと、$\displaystyle{x=-\frac{3}{2}}$が解であることが見つかります。

３次方程式は有理数がない時もある

有理数解の見つけるポイント、その後の因数分解の方法もわかりました。

実はそうではありません。悲しいことに今回の方法で解けない場合もあります。

3次関数は必ずしも有理数解を持つとは限らないからです。

そんな時に必ず解を求めることができる方法があります。3次関数の「解の公式」を使うことです。

これは「カルダノの公式」と言われます。かなり複雑な式になります。今後解説します。

まとめ

以上3次方程式の解き方でした。重要項目ですのでぜひ理解してみて下さい。