【数Ⅱ】剰余の定理（公式、証明、問題）【因数定理】

整式\(P(x)\)を\(ax-b\)で割った余りは\(\displaystyle{P(\frac{b}{a})}\)に等しい

整式\(3x^3+ax^2+bx+5\)を\(x+1\)で割ると\(-2\)余り、\(x-2\)で割ると\(7\)余る。このとき、\(a,b\)の値をもとめよ。

\(P(x)=3x^3+ax^2+bx+5\)とおく。

\(x+1\)で割ると\(-2\)余り、\(x-2\)で割ると\(7\)余るので

剰余の定理より　\(P(-1)=-2\)、\(P(2)=7\)なので

\(P(-1)=-3+a-b+5=-2\Leftrightarrow a-b=-4\)

\(P(2)=24+4a+2b+5=7\Leftrightarrow 2a+b=-11\)

これを連立させると　\(a=-5,b=-1\)

整式\(P(x)\)を\(x+1\)で割ると\(-2\)余り、\(2x-1\)で割ると\(4\)余る。整式\(P(x)\)を\((2x-1)(x+1)\)で割った余りをもとめよ。（１９　摂南大）

整式\(P(x)\)を\((2x-1)(x+1)\)で割ったときの商を\(Q(x)\)、余りを\(ax+b\)とすると

\(P(x)=(2x-1)(x+1)Q(x)+ax+b\)　と表せる

整式\(P(x)\)を\(x+1\)で割ると\(-2\)余り、\(2x-1\)で割ると\(4\)余るので

剰余の定理より　\(P(-1)=-2\)、\(P(\frac{1}{2})=4\)　となるので、

$$P(-1)=-a+b=-2$$

$$P(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}a+b=4$$

これを連立させると　\(a=4,b=2\)

したがって　余りは　\(4x+2\)

\(P(x)=2x^3-5x^2-x+4\)　において　\(P(3)\)　を求めよ。