【数Ⅱ】剰余の定理（公式、証明、問題）【因数定理】

整式$P(x)$を$ax-b$で割った余りは$\displaystyle{P(\frac{b}{a})}$に等しい

整式$3x^3+ax^2+bx+5$を$x+1$で割ると$-2$余り、$x-2$で割ると$7$余る。このとき、$a,b$の値をもとめよ。

$P(x)=3x^3+ax^2+bx+5$とおく。

$x+1$で割ると$-2$余り、$x-2$で割ると$7$余るので

剰余の定理より　$P(-1)=-2$、$P(2)=7$なので

$P(-1)=-3+a-b+5=-2\Leftrightarrow a-b=-4$

$P(2)=24+4a+2b+5=7\Leftrightarrow 2a+b=-11$

これを連立させると　$a=-5,b=-1$

整式$P(x)$を$x+1$で割ると$-2$余り、$2x-1$で割ると$4$余る。整式$P(x)$を$(2x-1)(x+1)$で割った余りをもとめよ。（１９　摂南大）

整式$P(x)$を$(2x-1)(x+1)$で割ったときの商を$Q(x)$、余りを$ax+b$とすると

$P(x)=(2x-1)(x+1)Q(x)+ax+b$　と表せる

整式$P(x)$を$x+1$で割ると$-2$余り、$2x-1$で割ると$4$余るので

剰余の定理より　$P(-1)=-2$、$P(\frac{1}{2})=4$　となるので、

$$P(-1)=-a+b=-2$$

$$P(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}a+b=4$$

これを連立させると　$a=4,b=2$

したがって　余りは　$4x+2$

$P(x)=2x^3-5x^2-x+4$　において　$P(3)$　を求めよ。