【三角形の面積公式】ヘロンの公式、例題、証明〜３辺から面積を求める〜

余弦定理から

$$cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

\(\require{cancel}\)三角関数の相互関係から

$$sin\theta=\sqrt{1-\{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\}^2}$$

三角関数の面積公式から

$$面積=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sqrt{1-\{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\}^2}$$

ここからは式の整理をします。まず、ルートの中に全て入れて

$$=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sqrt{\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{4a^2b^2}}$$

$$= \sqrt{a^2b^2\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{16a^2b^2}}$$

$$= \sqrt{\cancel{a^2b^2}\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{16\cancel{a^2b^2}}}$$

$$= \sqrt{\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{16}}$$

aについて整理します。

$$= \sqrt{\frac{-a^4+2(b^2+c^2)a^2-b^4+2b^2c^2-c^4}{16}}$$

$$= \sqrt{\frac{-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b^2-c^2)^2}{16}}$$

$$= \sqrt{\frac{-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b+c)^2(b-c)^2}{16}}$$

$$= \sqrt{\frac{-\{a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b+c)^2(b-c)^2\}}{16}}$$

因数分解していって

$$= \sqrt{\frac{-\{a^2-(b+c)^2\}\{a^2-(b-c)^2\}}{16}}$$

$$= \sqrt{\frac{-\{a+(b+c)\}\{a-(b+c)\}\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}}{16}}$$

$$= \sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}$$

ここから、公式に近づけていきます。

$$= \sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}$$

$$= \sqrt{\frac{a+b+c}{2}(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}$$

ここで\(\displaystyle{s=\frac{a+b+c}{2}}\)とすると、

$$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$