今回は、「ヘロンの公式」について解説します。
3辺の長さから、面積を求められる便利公式です。
証明(導出)過程にも学びがありますので、ぜひ一緒に見ていきましょう。
ヘロンの公式
S=√s(s−a)(s−b)(s−c)
ただし、s=a+b+c2
ヘロンの公式使用例①
図の三角形の面積を求めよ。

まず、sを求めます。
3辺足して、2で割る
s=5+3+62=7
ここで、「ヘロンの公式」に当てはめて
面積=√7(7−5)(7−3)(7−6)
=√7×2×4×1
=2√14
ヘロンの公式使用例②
図の三角形の面積を求めよ。

まず、sを求めます。
3辺足して、2で割る
s=5+3+72=152
ここで、「ヘロンの公式」に当てはめて
面積=√152(152−5)(152−3)(152−7)
=√152×102×92×12
=15√34
ヘロンの公式ココがすごい!
ヘロンの公式のメリットは、
三角形の面積を、3辺の長さから求めることができる
というところです。余弦定理などを使って、角度を求める必要がないので、便利です。
ヘロンの公式 証明
それでは、証明もみていきましょう。

余弦定理から
cosθ=a2+b2−c22ab
三角関数の相互関係から
sinθ=√1−{a2+b2−c22ab}2
三角関数の面積公式から
面積=12×a×b×√1−{a2+b2−c22ab}2
ここからは式の整理をします。まず、ルートの中に全て入れて
=12×a×b×√−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2a2c24a2b2
=√a2b2−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216a2b2
=√a2b2−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216a2b2
=√−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216
aについて整理します。
=√−a4+2(b2+c2)a2−b4+2b2c2−c416
=√−a4+2(b2+c2)a2−(b2−c2)216
=√−a4+2(b2+c2)a2−(b+c)2(b−c)216
=√−{a4−2(b2+c2)a2+(b+c)2(b−c)2}16
因数分解していって
=√−{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2}16
=√−{a+(b+c)}{a−(b+c)}{a−(b−c)}{a+(b−c)}16
=√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16
ここから、公式に近づけていきます。
=√(a+b+c)2(−a+b+c)2(a−b+c)2(a+b−c)2
=√a+b+c2(a+b+c2−a)(a+b+c2−b)(a+b+c2−c)
ここでs=a+b+c2とすると、
=√s(s−a)(s−b)(s−c)
式を整理していく過程は少し大変ですが、流れは、
余弦定理でcos求める → 相互関係でsin求める → 面積公式
の流れで、証明しているだけです。
公式を覚えることよりも、この流れで面積が求められることの方が大切です。
まとめ
- ヘロンの公式を使うと、三角形において、3辺から面積を求めることができる
- 便利な公式だが、余弦定理→相互関係→面積公式 な流れも大切
以上ヘロンの公式でした。
面積を求める方法や公式は数多く存在ましす。
どの公式を使って解くかを考えることは、数学のセンスをあげることにもつながると思います。
少しでも参考になれば幸いです。
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