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【三角形の面積公式】ヘロンの公式、例題、証明〜3辺から面積を求める〜

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今回は、「ヘロンの公式」について解説します。

3辺の長さから、面積を求められる便利公式です。

証明(導出)過程にも学びがありますので、ぜひ一緒に見ていきましょう。

ヘロンの公式

ヘロンの公式

S=s(sa)(sb)(sc)

ただし、s=a+b+c2

ヘロンの公式使用例①

例題

図の三角形の面積を求めよ。

まず、sを求めます。

3辺足して、2で割る

s=5+3+62=7

ここで、「ヘロンの公式」に当てはめて

=7(75)(73)(76)

=7×2×4×1

=214

ヘロンの公式使用例②

例題2

図の三角形の面積を求めよ。

まず、sを求めます。

3辺足して、2で割る

s=5+3+72=152

ここで、「ヘロンの公式」に当てはめて

=152(1525)(1523)(1527)

=152×102×92×12

=1534

ヘロンの公式ココがすごい!

ヘロンの公式のメリットは、

三角形の面積を、3辺の長さから求めることができる

というところです。余弦定理などを使って、角度を求める必要がないので、便利です。

ヘロンの公式 証明

それでは、証明もみていきましょう。

ヘロンの公式 証明

余弦定理から

cosθ=a2+b2c22ab

三角関数の相互関係から

sinθ=1{a2+b2c22ab}2

三角関数の面積公式から

=12×a×b×1{a2+b2c22ab}2

ここからは式の整理をします。まず、ルートの中に全て入れて

=12×a×b×a4b4c4+2a2b2+2b2c2+2a2c24a2b2

=a2b2a4b4c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216a2b2

=a2b2a4b4c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216a2b2

=a4b4c4+2a2b2+2b2c2+2a2c216

aについて整理します。

=a4+2(b2+c2)a2b4+2b2c2c416

=a4+2(b2+c2)a2(b2c2)216

=a4+2(b2+c2)a2(b+c)2(bc)216

={a42(b2+c2)a2+(b+c)2(bc)2}16

因数分解していって

={a2(b+c)2}{a2(bc)2}16

={a+(b+c)}{a(b+c)}{a(bc)}{a+(bc)}16

=(a+b+c)(a+b+c)(ab+c)(a+bc)16

ここから、公式に近づけていきます。

=(a+b+c)2(a+b+c)2(ab+c)2(a+bc)2

=a+b+c2(a+b+c2a)(a+b+c2b)(a+b+c2c)

ここでs=a+b+c2とすると、

=s(sa)(sb)(sc)

式を整理していく過程は少し大変ですが、流れは、

余弦定理でcos求める → 相互関係でsin求める → 面積公式

の流れで、証明しているだけです。

公式を覚えることよりも、この流れで面積が求められることの方が大切です。

まとめ

  • ヘロンの公式を使うと、三角形において、3辺から面積を求めることができる
  • 便利な公式だが、余弦定理→相互関係→面積公式 な流れも大切

以上ヘロンの公式でした。

面積を求める方法や公式は数多く存在ましす。

どの公式を使って解くかを考えることは、数学のセンスをあげることにもつながると思います。

少しでも参考になれば幸いです。

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