【確率】クラスに誕生日の同じ人がいる確率【余事象の確率】

直接「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる」確率を考えるのではなく

余事象の「誕生日が全員異なる」確率を考えます。

A君は、365日中どの日でも良いので$\displaystyle{\frac{365}{365}}$

B君は、365日中A君と別の日ならいつでも良いので$\displaystyle{\frac{364}{365}}$

C君は、365日中A君、B君と別の日ならいつでも良いので$\displaystyle{\frac{363}{365}}$

これを４０人考えて、それぞれかければ良いので、

$$\underbrace{\frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{362}{365}\cdots\frac{326}{365}}_{40個}=0.109\cdots$$

ここで、「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる確率」＝１ー「誕生日が全員異なる確率」なので、

$$1-0.109=0.891\cdots\fallingdotseq89％$$

余事象の「誕生日が全員異なる」確率を考えます。

A君は、365日中どの日でも良いので$\displaystyle{\frac{365}{365}}$

B君は、365日中A君と別の日ならいつでも良いので$\displaystyle{\frac{364}{365}}$

C君は、365日中A君、B君と別の日ならいつでも良いので$\displaystyle{\frac{363}{365}}$

これをn人考えて、それぞれかければ良いので、

$$\underbrace{\frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{362}{365}\cdots}_{n個}=\frac{_{365}P_{n}}{365^n}$$

ここで、「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる確率」＝１ー「誕生日が全員異なる確率」なので、

$$1-\frac{_{365}P_{n}}{365^n}$$