クラスで、同じ誕生日の人がいて感動した！
なんていう経験はありませんか？
それは、運命的な確率でしょうか。それともよくあることなのでしょうか。
今回は、数学的に計算して、クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率を求めてみたいと思います。
クラスに誕生日の同じ人がいる確率
設定
数学では、問題設定が重要です。次のように考えることとします。
・1年を通じてどの日に生まれる確率も同じであるとする。→つまり\(\displaystyle{\frac{1}{365}}\)
・「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる」事象の確率を求める。
40人のクラスに誕生日の同じ人がいる確率
それでは、40人のクラスでの確率を求めていきます。
直接「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる」確率を考えるのではなく
余事象の「誕生日が全員異なる」確率を考えます。
A君は、365日中どの日でも良いので\(\displaystyle{\frac{365}{365}}\)
B君は、365日中A君と別の日ならいつでも良いので\(\displaystyle{\frac{364}{365}}\)
C君は、365日中A君、B君と別の日ならいつでも良いので\(\displaystyle{\frac{363}{365}}\)
これを４０人考えて、それぞれかければ良いので、
$$\underbrace{\frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{362}{365}\cdots\frac{326}{365}}_{40個}=0.109\cdots$$
ここで、「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる確率」＝１ー「誕生日が全員異なる確率」なので、
$$1-0.109=0.891\cdots\fallingdotseq89％$$
つまり89%位の確率で誕生日の同じカップルが存在するわけです。
どうでしょう。結構多く感じませんか。
n人のクラスに誕生日の同じ人がいる確率
同様にn人のクラスを考えます。
余事象の「誕生日が全員異なる」確率を考えます。
A君は、365日中どの日でも良いので\(\displaystyle{\frac{365}{365}}\)
B君は、365日中A君と別の日ならいつでも良いので\(\displaystyle{\frac{364}{365}}\)
C君は、365日中A君、B君と別の日ならいつでも良いので\(\displaystyle{\frac{363}{365}}\)
これをn人考えて、それぞれかければ良いので、
$$\underbrace{\frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{362}{365}\cdots}_{n個}=\frac{_{365}P_{n}}{365^n}$$
ここで、「誕生日の同じ人が少なくとも２人いる確率」＝１ー「誕生日が全員異なる確率」なので、
$$1-\frac{_{365}P_{n}}{365^n}$$
70人を超えるとほぼ必ず誕生日の同じカップルが存在する
それでは、先程のクラスの人数nに数値を代入して、みていきましょう。
n=５のとき0.027
n=10のとき0.117
n=20のとき0.411
n=30のとき0.706
n=40のとき0.891
n=50のとき0.970
n=60のとき0.994
n=70のとき0.999
70人を超えると、99.9%の確率で誕生日の同じカップルが存在することになります。
感覚より「誕生日が同じ確率」が大きい理由
意外と誕生日が同じ確率って感覚よりも、多いなと思う理由は
「誕生日が同じ人が少なくとも２人以上いる確率」
と
「自分と同じ誕生日の人がいる確率」(\(\displaystyle{\frac{n}{365}}\))
とを混同してしまうからです。
結論
クラスに「同じ誕生日の組み合わせが存在する」ことは、結構よくあることだが、
「あなた」と同じ誕生日の人がいるとしたら、それは運命かもしれません。
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