【領域】線形計画法〜例題を通して解説〜

不等式\(4x-3y≤0,x^2+y^2≤25\)を同時に満たす\(x,y\)について、\(y-x\)のとり得る値の最大値、最小値を求めよ。

まず、領域を図示することから始めます。

\(x^2+y^2≤25\)は中心(0,0)、半径５の円の内部

\(4x-3y≤0\)は、\(y≥\frac{4}{3}x\)なので、傾き\(\frac{4}{3}\)、切片0の直線の上側

（共に境界を含む）

\(y-x=k\)とおく。

\(y=x+k\)…①と表せる。これは傾き１、切片kの直線。

①と領域が共有点を持つ時を考えれば良い。

kの最大値、最小値を考えるということは、

共有点を持っている状態で、

切片が最大となるとき、最小となるときを考えれば良い。

切片が最大となるのは、

図のように円に接している状態である。

つまり（直線①と円の中心の距離）＝（円の半径）

とすれば良いので、

$$\frac{|k|}{\sqrt{1+1}}=5$$

$$|k|=5\sqrt{2}$$

$$k=5\sqrt{2}$$

次に切片が最小となるのは

（−３、ー４）を通る時である。

①に（−３、ー４）を代入して、

$$k=-4+3=-1$$

以上より、

最大値$$5\sqrt{2}$$

最小値$$-1$$