今回は、大阪府立大の過去問を通して、２項係数の基本事項を抑えたいと思います。
数式多めとなっていますが、頑張っていきましょう。
問題
問題 nは２以上の整数
（１）k=1,2,⋯,nに対して、knCk=nn−1Ck−1が成り立つことを示せ。
（２）∑nk=1knCkをnを用いて表せ。
（３）∑nk=2k(k−1)nCkをnを用いて表せ。
（４）1+∑nk=2(k−1)2nCkをnを用いて表せ。
（１）knCk=nn−1Ck−1を示す
(左辺)=knCk=kn(n−1)(n−2)⋯(n−k+2)(n−k+1)k(k−1)(k−2)⋯⋅2⋅1
k約分
=kn(n−1)(n−2)⋯(n−k+2)(n−k+1)k(k−1)(k−2)⋯⋅2⋅1
=nk−1個⏞(n−1)(n−2)⋯(n−k+2)(n−k+1)(k−1)(k−2)⋯⋅2⋅1⏟k−1個
=nn−1Ck−1
（２）∑nk=1knCkをnを用いて表す。
n∑k=1knCk
(1)の等式を利用して
=n∑k=1nn−1Ck−1
=nn∑k=1n−1Ck−1
=n(n−1C0+n−1C1+⋯+n−1Cn−2+n−1Cn−1⏟(A))
(A)は(1+1)n−1の２項展開の式そのものなので
=n(1+1)n−1=n 2n−1
（３）∑nk=2k(k−1)nCkをnを用いて表す。
（２）と同様に考えます。
n∑k=2k(k−1)nCk
=n∑k=2k(k−1)n(n−1)k−2個⏞(n−2)⋯(n−k+2)(n−k+1)k(k−1)(k−2)⋯⋅2⋅1⏟k−2個
=n(n−1)n∑k=2k−2個⏞(n−2)⋯(n−k+2)(n−k+1)(k−2)⋯⋅2⋅1⏟k−2個
=n(n−1)n∑k=2n−2Ck−2
=n(n−1)(n−2C0+n−2C1+⋯+n−2Cn−3+n−2Cn−2⏟(B))
(B)は(1+1)n−2の２項展開の式そのものなので
=n(n−1)(1+1)n−2=n(n−1)2n−2
（４）1+∑nk=2(k−1)2nCkをnを用いて表す。
1+n∑k=2(k−1)2nCk
=1+n∑k=2(k−1)(k−1)nCk
=1+n∑k=2k(k−1)nCk−n∑k=2knCk+n∑k=2nCk
(2)(3)を使えるように、シグマの範囲を調整して
=1+n∑k=2k(k−1)nCk−(n∑k=1knCk−n)+n∑k=0nCk−1−n
=1+n(n−1)2n−2−n2n−1+n+2n−1−n
=2n−2(n2−n−2n+4)
=2n−2(n2−3n+4)
まとめ
数式が多くて、混乱してしまいますね。
一つ一つ納得しながら、変形するのが大切だと思います。
今回大切なのは、以下の３点です。
- （１）のknCk=nn−1Ck−1はとても大切な事実です。
- n∑k=0nnCk=(1+1)n=2n
- 2項係数は分数の形で書き下して考える そのとき分母分子の整数の個数に注意する。
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