今回は、大阪府立大の過去問を通して、２項係数の基本事項を抑えたいと思います。
数式多めとなっていますが、頑張っていきましょう。
問題
問題 nは２以上の整数
（１）\(k=1,2,\cdots,n\)に対して、\(k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)が成り立つことを示せ。
（２）\(\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表せ。
（３）\(\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表せ。
（４）\(1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表せ。
（１）\(k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)を示す
$$(左辺)=k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=k\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots\cdot{2}\cdot{1}}$$
k約分\(\require{cancel}\)
$$=\cancel{k}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{\cancel{k}(k-1)(k-2)\cdots\cdot{2}\cdot{1}}$$
$$=n\frac{\overbrace{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}^{k-1個}}{\underbrace{(k-1)(k-2)\cdots\cdot{2}\cdot{1}}_{k-1個}}$$
$$=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$$
（２）\(\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表す。
$$\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}$$
(1)の等式を利用して
$$=\sum_{k=1}^{n}n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$$
$$=n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$$
$$=n(\underbrace{{}_{n-1}\mathrm{C}_{0}+{}_{n-1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n-1}\mathrm{C}_{n-2}+{}_{n-1}\mathrm{C}_{n-1}}_{(A)})$$
(A)は\((1+1)^{n-1}\)の２項展開の式そのものなので
$$=n(1+1)^{n-1}=n \ 2^{n-1}$$
（３）\(\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表す。
（２）と同様に考えます。
$$\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}$$
$$=\sum_{k=2}^{n}\cancel{k}\cancel{(k-1)}\frac{n(n-1)\overbrace{(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}^{k-2個}}{\cancel{k}\cancel{(k-1)}\underbrace{(k-2)\cdots\cdot{2}\cdot{1}}_{k-2個}}$$
$$=n(n-1)\sum_{k=2}^{n}\frac{\overbrace{(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}^{k-2個}}{\underbrace{(k-2)\cdots\cdot{2}\cdot{1}}_{k-2個}}$$
$$=n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}$$
$$=n(n-1)(\underbrace{{}_{n-2}\mathrm{C}_{0}+{}_{n-2}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{n-2}\mathrm{C}_{n-3}+{}_{n-2}\mathrm{C}_{n-2}}_{(B)})$$
(B)は\((1+1)^{n-2}\)の２項展開の式そのものなので
$$=n(n-1)(1+1)^{n-2}=n(n-1)2^{n-2}$$
（４）\(1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k}\)をnを用いて表す。
$$1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2{}_{n}\mathrm{C}_{k}$$
$$=1+\sum_{k=2}^{n}(k-1)(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}$$
$$=1+\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}-\sum_{k=2}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}+\sum_{k=2}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}$$
(2)(3)を使えるように、シグマの範囲を調整して
$$=1+\sum_{k=2}^{n}k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_{k}-(\sum_{k=1}^{n}k{}_{n}\mathrm{C}_{k}-n)+\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}-1-n$$
$$=\cancel{1}+n(n-1)2^{n-2}-n2^{n-1}\cancel{+n}+2^n\cancel{-1}\cancel{-n}$$
$$=2^{n-2}(n^2-n-2n+4)$$
$$=2^{n-2}(n^2-3n+4)$$
まとめ
数式が多くて、混乱してしまいますね。
一つ一つ納得しながら、変形するのが大切だと思います。
今回大切なのは、以下の３点です。
- （１）の\(k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)はとても大切な事実です。
- $$\sum_{k=0}^{n}n{}_{n}\mathrm{C}_{k}=(1+1)^n=2^n$$
- 2項係数は分数の形で書き下して考える そのとき分母分子の整数の個数に注意する。
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