【2022 共通テスト 数学ⅠA 問3】完全順列(モンモール数) 〜解説〜

場合の数と確率

今回は、「2022年 共通テスト 数学ⅠA 問3(確率)」の解説です。

この記事を読めば、

・2020年 共通テスト 数学ⅠA 問3(確率)の解き方

・プレゼント交換の確率(完全順列)

について理解できます。

わか
わか

この記事は、「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題前提

「プレゼント交換を行ったとき、全員が自分以外の人のプレゼントを受け取る」というような順列を完全順列(錯乱順列)といい、完全順列の総数をモンモール数といいます。

完全順列に関して詳しい解説は以下を参考にしてください。

今回の問題は、

完全順列(全員が自分以外のプレゼントを受け取る)となれば、終了。

完全順列にならなければ(自分のプレゼントを受け取ってしまう人が1人でもいるならば)何度もプレゼント交換を行う

という設定です。

(1)解説

「2人で交換、3人で交換するのときの完全順列となる確率」

「3人で交換するときの4回以下で交換が終了する確率」

を求める。

2人で交換、1回で終了

1回目のプレゼント交換で終了するのは、

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B & \\ \hline a & b&× \\ \hline b&a&○\\ \hline \end{array}

○のときなので、1通り・・・(ア)

プレゼント交換の総数は \(2!=2\) 通り なので、

\(\dfrac{1}{2}\)・・・(イ)(ウ)

3人で交換、1回で終了

1回目のプレゼント交換で終了するのは、

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B &C& \\ \hline a & b&c&× \\ \hline a& c&b&× \\ \hline b & a&c&× \\ \hline b & c&a&○ \\ \hline c & a&b&○ \\ \hline c & b&a&× \\ \hline \end{array}

○のときなので、2通り・・・(エ)

プレゼント交換の総数は \(3!=6\) 通り なので、

\(\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)・・・(オ)(カ)

3人で交換、4回以下で終了

「4回以下で終了する」 余事象

4回目までに終了しない

を考える。

1回で終了する確率は \(\dfrac{1}{3}\) なので

逆に終了せず継続する確率は \(1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

「4回目までに終了しない確率」は

\begin{array}{|c|c|c|} \hline ①& ②&③&④ \\\hline ×& ×&×&× \\ \hline \frac{2}{3} & \frac{2}{3} &\frac{2}{3}&\frac{2}{3} \\\hline \end{array}

$$\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$$

したがって、「4回目以前に終了する確率」は

\(1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}\)・・・(キ)(ク)(ケ)(コ)

(2)解説

「4人で交換するのときの完全順列となる確率」を求める

4人交換、1回で終了

① 1人が自分のプレゼントを受け取る場合

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D \\\hline a&b以外 &c以外&d以外 \\\hline \end{array}

b,c,dの3人が自分のプレゼントを受け取らないのは、(1)より 2通り

自分のプレゼントを受け取るのが a,b,c,d のときの4パターン あるので、

\(2\times4=8\) 通り・・・(サ)

② 2人が自分のプレゼントを受け取る場合

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D \\\hline a&b &c以外&d以外 \\\hline \end{array}

c,dの2人が自分のプレゼントを受け取らないのは、(1)より 1通り

自分のプレゼントを受け取るのが a,b,c,d から2人を選ぶので

\(_4C_2=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\)パターン あるので、

\(1\times6=6\) 通り・・・(シ)

③ 3人が自分のプレゼントを受け取る場合

これは「全員が自分のプレゼント」を受け取る場合なので 1通り

①、②、③より 「1回目で終了しない」のは

\(8+6+1=15\)・・・(ス)(セ)

「1回目で終了する」のは プレゼント交換の総数は\(4!=24\)通り より

\(1-\dfrac{15}{24}=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}\)・・・(ソ)(タ)

4人交換は、以前で求めた3人、2人のときをうまく利用してするとよい

(3)解説

「4人で交換するのときの完全順列となる確率」を求める

(2)と同様に考える

4人交換、1回で終了

① 1人が自分のプレゼントを受け取る場合

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b以外 &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}

b,c,d,eの4人が自分のプレゼントを受け取らないのは、(2)より \(24-15=9\)通り

自分のプレゼントを受け取るのが a,b,c,d,e のときの5パターン あるので、

\(9\times5=45\) 通り

② 2人が自分のプレゼントを受け取る場合

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}

c,d,eの3人が自分のプレゼントを受け取らないのは、(2)より 2通り

自分のプレゼントを受け取るのが a,b,c,d,e から2人を選ぶので

\(_5C_2=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10\)パターン あるので、

\(2\times10=20\) 通り

② 3人が自分のプレゼントを受け取る場合

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b &c&d以外&e以外 \\\hline \end{array}

d,eの2人が自分のプレゼントを受け取らないのは、(1)より 1通り

自分のプレゼントを受け取るのが a,b,c,d,e から3人を選ぶので

\(_5C_3=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10\)パターン あるので、

\(1\times10=10\) 通り

④ 4人が自分のプレゼントを受け取る場合

これは「全員が自分のプレゼント」を受け取る場合なので 1通り

①、②、③、④より 「1回目で終了しない」のは

\(45+20+10+1=76\)

「1回目で終了する」のは プレゼント交換の総数は\(5!=120\)通り より

\(1-\dfrac{76}{120}=1-\dfrac{19}{30}=\dfrac{11}{30}\)・・・(チ)(ツ)(テ)(ト)

(4)解説

「5人で交換するのときの条件付き確率」を求める

5人交換、条件付き確率

① 5人とも自分のプレゼントではないとき

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a以外&b以外 &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}

(3)より \(120-76=44\)通り

② A、B、C、Dが自分以外、Eが自分のプレゼントのとき

\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a以外&b以外 &c以外&d以外&e \\\hline \end{array}

(2)より \(24-15=9\)

①、②より 「ABCDが自分以外のプレゼントを受け取ったとき、プレゼント交換が終了する条件付き確率」は

\(\dfrac{44}{44+9}=\dfrac{44}{53}\)・・・(ナ)(ニ)(ヌ)(ネ)

まとめ:共通テスト(完全順列)

今回のまとめは以下の通り。

・「2022共通テスト確率」はプレゼント交換についての出題で、全員自分のプレゼントを受け取らない「完全順列」がテーマ

・プレゼント交換において、人数を2、3、4、5人まで増やして、完全順列となる確率を求める

・n人の時を考えるとき、(n-1)人、(n-2)人のときを使って求めるとよい

今回のテーマである「完全順列」は以下の記事を参考にしてください。一般項の求め方など解説しています。

以上で「2022 共通テスト 確率」の解説を終わります。

少しでもみなさんの参考になれば幸いです。それではまた。

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