【2022 共通テスト 数学ⅠA 問３】完全順列(モンモール数)　〜解説〜

１回目のプレゼント交換で終了するのは、

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B & \\ \hline a & b&× \\ \hline b&a&○\\ \hline \end{array}$$

○のときなので、１通り・・・（ア）

プレゼント交換の総数は　$2!=2$　通り　なので、

$\dfrac{1}{2}$・・・（イ）（ウ）

１回目のプレゼント交換で終了するのは、

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B &C& \\ \hline a & b&c&× \\ \hline a& c&b&× \\ \hline b & a&c&× \\ \hline b & c&a&○ \\ \hline c & a&b&○ \\ \hline c & b&a&× \\ \hline \end{array}$$

○のときなので、２通り・・・（エ）

プレゼント交換の総数は　$3!=6$　通り　なので、

$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$・・・（オ）（カ）

「４回以下で終了する」　余事象

を考える。

「４回目までに終了しない確率」は

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline ①& ②&③&④ \\\hline ×& ×&×&× \\ \hline \frac{2}{3} & \frac{2}{3} &\frac{2}{3}&\frac{2}{3} \\\hline \end{array}$$

$$\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$$

したがって、「４回目以前に終了する確率」は

$1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}$・・・（キ）（ク）（ケ）（コ）

①　１人が自分のプレゼントを受け取る場合

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D \\\hline a&b以外 &c以外&d以外 \\\hline \end{array}$$

b,c,dの３人が自分のプレゼントを受け取らないのは、（１）より　２通り

自分のプレゼントを受け取るのが　a,b,c,d のときの４パターン　あるので、

$2\times4=8$ 通り・・・（サ）

②　２人が自分のプレゼントを受け取る場合

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D \\\hline a&b &c以外&d以外 \\\hline \end{array}$$

c,dの２人が自分のプレゼントを受け取らないのは、（１）より　１通り

自分のプレゼントを受け取るのが　a,b,c,d から２人を選ぶので

$_4C_2=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6$パターン　あるので、

$1\times6=6$ 通り・・・（シ）

③　３人が自分のプレゼントを受け取る場合

これは「全員が自分のプレゼント」を受け取る場合なので　１通り

①、②、③より　「１回目で終了しない」のは

$8+6+1=15$・・・（ス）（セ）

「１回目で終了する」のは　プレゼント交換の総数は$4!=24$通り　より

$1-\dfrac{15}{24}=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$・・・（ソ）（タ）

①　１人が自分のプレゼントを受け取る場合

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b以外 &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}$$

b,c,d,eの4人が自分のプレゼントを受け取らないのは、（2）より　$24-15=9$通り

自分のプレゼントを受け取るのが　a,b,c,d,e のときの5パターン　あるので、

$9\times5=45$ 通り

②　２人が自分のプレゼントを受け取る場合

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}$$

c,d,eの3人が自分のプレゼントを受け取らないのは、（2）より　2通り

自分のプレゼントを受け取るのが　a,b,c,d,e から２人を選ぶので

$_5C_2=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10$パターン　あるので、

$2\times10=20$ 通り

②　3人が自分のプレゼントを受け取る場合

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a&b &c&d以外&e以外 \\\hline \end{array}$$

d,eの2人が自分のプレゼントを受け取らないのは、（1）より　1通り

自分のプレゼントを受け取るのが　a,b,c,d,e から3人を選ぶので

$_5C_3=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10$パターン　あるので、

$1\times10=10$ 通り

④　4人が自分のプレゼントを受け取る場合

これは「全員が自分のプレゼント」を受け取る場合なので　１通り

①、②、③、④より　「１回目で終了しない」のは

$45+20+10+1=76$

「１回目で終了する」のは　プレゼント交換の総数は$5!=120$通り　より

$1-\dfrac{76}{120}=1-\dfrac{19}{30}=\dfrac{11}{30}$・・・（チ）（ツ）（テ）（ト）

①　５人とも自分のプレゼントではないとき

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a以外&b以外 &c以外&d以外&e以外 \\\hline \end{array}$$

（３）より　$120-76=44$通り

②　A、B、C、Dが自分以外、Eが自分のプレゼントのとき

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A& B&C&D&E \\\hline a以外&b以外 &c以外&d以外&e \\\hline \end{array}$$

（２）より　$24-15=9$

①、②より　「ABCDが自分以外のプレゼントを受け取ったとき、プレゼント交換が終了する条件付き確率」は

$\dfrac{44}{44+9}=\dfrac{44}{53}$・・・（ナ）（ニ）（ヌ）（ネ）