【場合の数】$\mathbf{x+y+z=10}$を満たす０以上の整数x、y、zの組の総数を求めよ【組分け問題】

問題１

問題の意味

$$x+y+z=10$$

文字が３つある方程式ですので、式が３つないとx、y、zの値を一つに決めることができません。

x、y、zが０以上であれば、（x、y、z）＝（１０、０、０）でも（９、１、０）でも（５、３、２）でもよいわけです。

このように複数でてくる（x、y、z）の組を全部数え上げると何通りあるかという意味の問題です。

解説１

$$x+y+z=10$$

合わせて10個の整数を箱x、箱y、箱zに分けていくと考えます。

これは区別のつかないものを、区別のつく箱に分けていく考え方と一致します。

$$\overbrace{ 〇　〇　〇　〇　〇　〇　〇　}^{xの箱}　｜\overbrace{ 〇　〇}^{yの箱}　｜　\overbrace{ 〇}^{zの箱}$$

したがって、10個の○と2本の仕切り棒を考えてこの並び替えを考える。

${}_{12}\mathrm{C}_{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66$通り

問題２

解説２

問題１と同様に考えます。しかしこのままでは、x、y、zが空になる（０になる）ときも含んでいます。

そこで合わせて10個の整数のうちを先にx、y、zに１つずつ配っておくと考える。

よって7個の玉と仕切り棒2本の並び替えの総数と一致する、

$$\overbrace{ 〇　〇　〇　〇　}^{xの箱}　｜\overbrace{〇　〇}^{yの箱}　｜　\overbrace{ 〇}^{zの箱}$$

${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\frac{9\times8}{2\times1}=36$通り

問題３

解説３

基本的には上記の問題と同じ考え方です。

x、y、zの各箱は−１以上という条件をどう考えるかがポイントです。

これは、箱x、箱y、箱zからそれぞれ１つずつ玉を取り上げ、借金１がスタートの状態でそこに玉を振り分けていくと考えます。

元々の合計10個、それぞれから取り上げた3個の玉合わせて１３個と仕切り棒2本の並び替えと対応させます。

$$\overbrace{〇　〇　〇　〇　〇　〇　〇}^{xの箱}　｜\overbrace{〇　〇}^{yの箱}　｜　\overbrace{〇　〇　〇　〇}^{zの箱}$$

${}_{15}\mathrm{C}_{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105$通り

まとめ