【方程式】２次方程式の整数解〜3つの解法〜【整数問題】

$$x^2-mx+3m+1=0$$

の解を\(\alpha,\beta(\alpha>\beta)\)とする。

解と係数の関係より

$$\alpha+\beta=m$$

$$\alpha\beta=3m+1$$

この２式からmを消去して

$$\alpha\beta=3(\alpha+\beta)+1$$

$$\alpha\beta-3\alpha-3\beta=1$$

$$(\alpha-3)(\beta-3)-9=1$$

$$(\alpha-3)(\beta-3)=10$$

これを満たす、\(\alpha-3,\beta-3\)の組み合わせは、

\begin{array}{c|c|c} \alpha-3 & \beta-3 \\ \hline 10 & 1 \\ \hline 5&2\\\hline-1&-10\\\hline-2&-5\end{array}

の４パターン。

表で、mを求めて

\begin{array}{c|c|c} \alpha-3 & \beta-3 & \alpha&\beta &m=\alpha+\beta\\ \hline 10 & 1 & 13&4&17 \\ \hline 5&2&8&5&13\\\hline-1&-10&2&-7&-5\\\hline-2&-5&1&-2&-1 \end{array}

したがって

$$m=17,13,-5,-1$$

$$x^2-mx+3m+1=0$$

解の公式より

$$x=\frac{m\pm\sqrt{m^2-12m-4}}{2}$$

\(d=\sqrt{m^2-12m-4}\)とおく\((d≥0)\)

$$m^2-12m-4=d^2$$

左辺を平方完成して

$$(m-6)^2-40=d^2$$

$$(m-6)^2-d^2=40$$

$$(m-6+d)(m-6-d)=40$$

これを満たす\(m-6+d,m-6-d\)の組み合わせは、

\begin{array}{c|c|c} m-6+d & m-6-d \\ \hline 40 & 1 \\ \hline 20&2\\\hline10&4\\\hline8&5\\\hline-5&-8\\\hline-4&-10\\\hline-2&-20\\\hline-1&-40\end{array}

の8パターン。

\begin{array}{c|c|c} m-6+d & m-6-d&2m-12&2m&m \\ \hline 40 & 1&41&53&× \\ \hline 20&2&22&34&17\\\hline10&4&14&26&13\\\hline8&5&13&25&×\\\hline-5&-8&-13&-1&×\\\hline-4&-10&-14&-2&-1\\\hline-2&-20&-22&-10&-5\\\hline-1&-40&-41&-29&×\end{array}

したがって

$$m=17,13,-5,-1$$

$$x^2-mx+3m+1=0$$

整数解を\(\alpha\)とする

$$\alpha^2-m\alpha+3m+1=0$$

定数mを分離する

$$m(\alpha-3)=\alpha^2+1$$

\(\alpha=3\)ではないので、

$$m=\frac{\alpha^2+1}{\alpha-3}$$

$$m=\frac{(\alpha+3)(\alpha-3)+9+1}{\alpha-3}$$

$$m=\alpha+3+\frac{10}{\alpha-3}$$

\(\alpha-3\)が10の約数となればよいので

\(\alpha-3=\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\)

\begin{array}{c|c|c} \alpha-3 & \alpha & \frac{\alpha^2+1}{\alpha-3}\\ \hline 1 & 4 & 17 \\ \hline 2&5&13\\\hline5&8&13\\\hline10&13&17 \\\hline-1&2&-5\\\hline-2&1&-1\\\hline-5&-2&-1\\\hline-10&-7&-5\end{array}

したがって

$$m=17,13,-5,-1$$