今回は、2次方程式の整数解について解説します。
３パターンの解法を紹介します。
数学は、様々な見方をすることで理解が深まります。
ぜひ３パターン考えてみてください。
問題
x2−mx+3m+1=0
が整数解を持つ整数mを求めよ。
解法１（解と係数の関係）
x2−mx+3m+1=0
の解をα,β(α>β)とする。
解と係数の関係より
α+β=m
αβ=3m+1
この２式からmを消去して
αβ=3(α+β)+1
αβ−3α−3β=1
(α−3)(β−3)−9=1
(α−3)(β−3)=10
これを満たす、α−3,β−3の組み合わせは、
α−3β−310152−1−10−2−5
の４パターン。
表で、mを求めて
α−3β−3αβm=α+β10113417528513−1−102−7−5−2−51−2−1
したがって
m=17,13,−5,−1
解法２（解の公式のルートの中に注目）
x2−mx+3m+1=0
解の公式より
x=m±√m2−12m−42
d=√m2−12m−4とおく(d≥0)
m2−12m−4=d2
左辺を平方完成して
(m−6)2−40=d2
(m−6)2−d2=40
(m−6+d)(m−6−d)=40
これを満たすm−6+d,m−6−dの組み合わせは、
m−6+dm−6−d40120210485−5−8−4−10−2−20−1−40
の8パターン。
m−6+dm−6−d2m−122mm4014153×202223417104142613851325×−5−8−13−1×−4−10−14−2−1−2−20−22−10−5−1−40−41−29×
したがって
m=17,13,−5,−1
解法３（定数分離）
x2−mx+3m+1=0
整数解をαとする
α2−mα+3m+1=0
定数mを分離する
m(α−3)=α2+1
α=3ではないので、
m=α2+1α−3
m=(α+3)(α−3)+9+1α−3
m=α+3+10α−3
α−3が10の約数となればよいので
α−3=±1,±2,±5,±10
α−3αα2+1α−3141725135813101317−12−5−21−1−5−2−1−10−7−5
したがって
m=17,13,−5,−1
まとめ
今回は、２次方程式の整数解について３パターンで解説しました。
・解と係数の関係を利用して、積の形に持ち込む
・解の公式のルートの中に注目
・mを分離し、帯分数の形にする
以上の３パターンです。
様々な解き方をすることで、理解を深めてみてください。
少しでも理解が深まれば幸いです。
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