【証明】ルート２が無理数であることを示せ。〜３通りの証明解説〜

「〇〇でない」ことを仮定し、矛盾を導くことで、「〇〇である」ことを示す証明方法

$\sqrt2$が有理数であると仮定する

$\displaystyle{\sqrt2=\frac{q}{p}}$　ここで、p,qは互いに素な整数

両辺２乗して

$$2=\frac{q^2}{p^2}$$

$$2p^2=q^2$$

$q^2$は２の倍数、したがって$q$は２の倍数　※補足１

$q=2k$とおく（kは整数）

$$2p^2=4k^2$$

$$p^2=2k^2$$

p,kは互いに素な整数なので、

$p^2$は２の倍数、したがって$p$は２の倍数　※補足１

ここで、p,qはともに２の倍数であるが、

これは、p,qが互いに素な整数であることと矛盾する。

したがって、

$\sqrt2$は無理数

（証明終）

を示します。

$p$が２の倍数ではない整数とすると、

$p=2k+1$　(kは整数)と表せる

このとき

$$p^2=(2k+1)^2$$

$$=4k^2+4k+1$$

$$=2(2k^2+2k)+1$$

よって$p^2$は２の倍数ではない整数

対偶が示せたので、

$p^2$が２の倍数ならば、$p$は２の倍数

$\sqrt2$が有理数であると仮定する

$\displaystyle{\sqrt2=\frac{q}{p}}$　ここで、p,qは互いに素な整数

両辺２乗して

$$2=\frac{q^2}{p^2}$$

$$2p^2=q^2$$

ここで、

左辺の２の素因数の個数を考えると、奇数個

右辺の２の素因数の個数を考えると、偶数個

となる。

これは、素因数分解は１通りでしか表されないので、等式の左辺と右辺で素因数の個数が一致することと矛盾する。

したがって、

$\sqrt2$は無理数

（証明終）

$\sqrt2$が有理数であると仮定する

$\displaystyle{\sqrt2=\frac{q}{p}}$　ここで、p,qは互いに素な整数

両辺２乗して

$$2=\frac{q^2}{p^2}$$

$$2p=\frac{q^2}{p}$$

左辺の2pは整数なので、右辺の$\frac{q^2}{p}$ も整数

「pとqは互いに素」なので

$\frac{q^2}{p}$ が整数となるのは、p=1 のとき

よって　$q^2=2$

ここで、$1^2=1,2^2=4$ より

「２乗して２になる整数q」は存在しないので、矛盾が生じる

したがって、$\sqrt2$は無理数