今回は、sin18°の求め方です。
中途半端な１８°なんて求められないよ、、、
という方に向けて解説したいと思います。
三角関数についての基本に関しては、以下の記事を参考にしてください。
解説
一見１８°という中途半端な角度に見えますが、何倍かしていってら有名角になります。
実験してみましょう。
２倍すると３６°、３倍すると５４°、４倍すると７２°、５倍すると９０°
有名角が出てきましたね。
何倍かして、有名角に帰着させる
5倍ということなので、２倍角と３倍角をうまく組み合わせればうまく計算できそうです。
「２倍角の公式」と「３倍角の公式」は、有名です。確認しましょう。
２倍角の公式
$$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$$
$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$$
３倍角の公式
$$sin3\theta=3sin\theta-4sin^3\theta$$
$$cos3\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$$
それでは、解答していきます。
$$\theta=18°$$
とする。
$$2\theta+3\theta=90°$$
$$2\theta=90°-3\theta$$
よって、
$$sin2\theta=sin(90°-3\theta)$$
$$sin2\theta=cos3\theta$$
$$2sin\theta cos\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$$
\(cos\theta≠0\)より
$$2sin\theta=4cos^2\theta-3$$
$$2sin\theta=4(1-sin^2\theta)-3$$
$$4sin^2\theta+2sin\theta-1=0$$
よってこの２次方程式を解いて
$$sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$$
\(sin\theta>0\)より
$$sin\theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
求めることができました。
まとめ
・何倍かして、有名角になるよう考える
・２倍角、３倍角の公式をうまく使う
以上、sin18°の求め方解説でした！
類題解説しています。力試ししてみましょう。
それでは以上です。少しでも、参考になれば幸いです！
コメント