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【三角関数】sin18°を求めよ。〜分かりやすく解説〜

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2021.11.08 2021.11.06

今回は、sin18°の求め方です。

中途半端な１８°なんて求められないよ、、、

という方に向けて解説したいと思います。

三角関数についての基本に関しては、以下の記事を参考にしてください。

目次

解説
まとめ

解説

一見１８°という中途半端な角度に見えますが、何倍かしていってら有名角になります。

実験してみましょう。

２倍すると３６°、３倍すると５４°、４倍すると７２°、５倍すると９０°

有名角が出てきましたね。

何倍かして、有名角に帰着させる

5倍ということなので、２倍角と３倍角をうまく組み合わせればうまく計算できそうです。

「２倍角の公式」と「３倍角の公式」は、有名です。確認しましょう。

２倍角の公式

$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$

$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$

３倍角の公式

$sin3\theta=3sin\theta-4sin^3\theta$

$cos3\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$

それでは、解答していきます。

解答

$\theta=18°$

とする。

$2\theta+3\theta=90°$

$2\theta=90°-3\theta$

よって、

$sin2\theta=sin(90°-3\theta)$

$sin2\theta=cos3\theta$

$2sin\theta cos\theta=4cos^3\theta-3cos\theta$

$cos\theta≠0$ より

$2sin\theta=4cos^2\theta-3$

$2sin\theta=4(1-sin^2\theta)-3$

$4sin^2\theta+2sin\theta-1=0$

よってこの２次方程式を解いて

$sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$

$sin\theta>0$ より

$sin\theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

求めることができました。

まとめ

・何倍かして、有名角になるよう考える

・２倍角、３倍角の公式をうまく使う

以上、sin18°の求め方解説でした！

類題解説しています。力試ししてみましょう。

それでは以上です。少しでも、参考になれば幸いです！

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