【整数】自然数 n , k を求めよ。（１）3^n=k^3+1　（２）3^n=k^2-40（2010・千葉大学　医）

$$3^n=k^3+1$$

右辺を因数分解して

$$3^n=(k+1)(k^2-k+1)$$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+1 & k^2-k+1 \\ \hline 1 & 3^n\\\hline3&3^{n-1}\\\hline3^2&3^{n-2}\\\hline\cdots&\cdots\\\hline3^{n-1}&3\\\hline3^n&1 \\ \hline \end{array}$$

a,bを正の整数として

$$k+1=3^a　,　k^2-k+1=3^b$$

とおける

（左側の式）を（右側の式）に代入して

$$(3^a-1)^2-(3^a-1)+1=3^b$$

$$3^{2a}-3\cdot3^a+3=3^b$$

$$3(\underbrace{3^{2a-1}-3^a+1}_{3の倍数ではない})=3^b$$

$3^{2a-1}-3^a+1$　が３の倍数にはならないので、「１」である

$$3^{2a-1}-3^a+1=1$$

$$3^a(3^{a-1}-1)=0$$

$$3^{a-1}=1$$

$$a=1$$

よって

$$k+1=3\leftrightarrow k=2$$

よって

$$3^n=9\leftrightarrow n=2$$

したがって

$$n=2　,　k=2$$

$$3^n=k^2-40$$

変形して

$$k^2-3^n=40$$

左辺が因数分解できれば、候補を絞ることができる

nが偶数であれば因数分解できるので、nが偶数かどうか確認する

４を法とする合同式を考えて　（※補足）

nは偶数なので　$n=2s$　とおける

$$k^2-3^{2s}=40$$

因数分解して

$$(k+3^s)(k-3^s)=40$$

$(k+3^s)>(k-3^s)$　であることに注意すると

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+3^s & k-3^s \\ \hline40&1\\\hline20&2\\\hline10&4\\\hline8&5\\\hline \end{array}$$

の４パターン。

この中から

$(k+3^s)+(k-3^s)=2k$　なので、

足すと偶数になることに注意すると

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+3^s & k-3^s \\\hline20&2\\\hline10&4\\\hline \end{array}$$

の２パターン。それぞれ解いて、

したがって

（ n , k ）=（ 4 , 11 ）,（ 2 , 7 ）