【整数】自然数 n , k を求めよ。(1)3^n=k^3+1 (2)3^n=k^2-40(2010・千葉大学 医)

整数

今回は、2010年に千葉大学で出題された「整数問題」の解説です。

わか
わか

この記事は、「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

整数問題は、重要な3つのアプローチがあります。

整数問題の3つのアプローチ

① 因数分解して絞り込む

② 不等式で絞り込む

③ 倍数、あまりで分類して絞り込む

このアプローチを使いながら解答していきます。

それではいきましょう。

解説:整数(2021・千葉大学)

問題

問題

(1)\(3^n=k^3+1\) を満たす自然数(n,k)の組を全て求めよ。

(2)\(3^n=k^2-40\) を満たす自然数(n,k)の組を全て求めよ。

(2010・千葉大学 医)

千葉大学の入試問題です。

わか
わか

千葉大学はよく整数問題が出題されますね。

(1)解説

解説

$$3^n=k^3+1$$

因数分解で積の形をつくり、候補をしぼる

右辺を因数分解して

$$3^n=(k+1)(k^2-k+1)$$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+1 & k^2-k+1 \\ \hline 1 & 3^n\\\hline3&3^{n-1}\\\hline3^2&3^{n-2}\\\hline\cdots&\cdots\\\hline3^{n-1}&3\\\hline3^n&1 \\ \hline \end{array}

a,bを正の整数として

$$k+1=3^a , k^2-k+1=3^b$$

とおける

倍数の種類で分類して、候補をしぼる

(左側の式)を(右側の式)に代入して

$$(3^a-1)^2-(3^a-1)+1=3^b$$

$$3^{2a}-3\cdot3^a+3=3^b$$

$$3(\underbrace{3^{2a-1}-3^a+1}_{3の倍数ではない})=3^b$$

\(3^{2a-1}-3^a+1\) が3の倍数にはならないので、「1」である

$$3^{2a-1}-3^a+1=1$$

$$3^a(3^{a-1}-1)=0$$

$$3^{a-1}=1$$

$$a=1$$

よって

$$k+1=3\leftrightarrow k=2$$

よって

$$3^n=9\leftrightarrow n=2$$

したがって

$$n=2 , k=2$$

(2)解説

続いて(2)の解説にいきましょう

解説

$$3^n=k^2-40$$

変形して

$$k^2-3^n=40$$

左辺が因数分解できれば、候補を絞ることができる

nが偶数であれば因数分解できるので、nが偶数かどうか確認する

あまりの種類で分類する

4を法とする合同式を考えて (※補足)

\(k\equiv0\pmod4\) のとき

$$0-(-1)^n\equiv0\pmod4$$

不適

\(k\equiv\pm1\pmod4\) のとき

$$(\pm1)^2-(-1)^n\equiv0\pmod4$$

$$1-(-1)^n\equiv4\pmod4$$

nは偶数

\(k\equiv2\pmod4\) のとき

$$2^2-(-1)^n\equiv0\pmod4$$

$$0-(-1)^n\equiv0\pmod4$$

不適

nは偶数なので \(n=2s\) とおける

$$k^2-3^{2s}=40$$

因数分解して、 「( 式 )( 式 )=数」 の形をつくり、候補をしぼる

因数分解して

$$(k+3^s)(k-3^s)=40$$

\((k+3^s)>(k-3^s)\) であることに注意すると

\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+3^s & k-3^s \\ \hline40&1\\\hline20&2\\\hline10&4\\\hline8&5\\\hline \end{array}

の4パターン。

倍数の種類で分類する

この中から

\((k+3^s)+(k-3^s)=2k\) なので、

足すと偶数になることに注意すると

\begin{array}{|c|c|c|} \hline k+3^s & k-3^s \\\hline20&2\\\hline10&4\\\hline \end{array}

の2パターン。それぞれ解いて、

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k+3^2=20 \\ k-3^2= 2 \end{array} \right. \end{eqnarray}

を解くと

$$k=11\rightarrow s=2\rightarrow n=4$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k+3^2=10 \\ k-3^2= 4 \end{array} \right. \end{eqnarray}

を解くと

$$k=7\rightarrow s=1\rightarrow n=2$$

したがって

( n , k )=( 4 , 11 ),( 2 , 7 )

※補足

合同式は、あまりのみに着目した等式です。以下の記事を参考にしてください。

整数問題の記事

整数問題に関しては、以下の記事も参考になると思います。

まとめ:千葉大学 整数問題

整数問題の大切なポイントをもう一度確認します。

整数問題の3つのアプローチ

① 因数分解して絞り込む

② 不等式で絞り込む

③ 倍数、あまりで分類して絞り込む

以上のポイントを確認しながら、候補を絞り込んで「整数解」を求めましょう。

これで解説終わります。

少しでも参考になれば幸いです。

それではまた。

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